2019年度 実解析第一   Real Analysis I

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開講元
数学科
担当教員名
川平 友規 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
火3-4(H102)  
クラス
-
科目コード
ZUA.C305
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
1-2Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

本講義では,測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する概念と性質を扱う.まず測度の定義域となる可算加法族と(可算加法的)測度の基礎を解説し,最も基本的な測度であるLebesgue測度について学ぶ.次に,積分対象となる可測関数およびLebesgue積分を導入し,その基本的な性質について学ぶ.次に,積分の理論・応用双方の要となる収束定理について学ぶ.次に測度の構成や拡張について学ぶ.次に,Lebesgue測度による積分とRiemann積分との関係を明らかにする.その次に,積分により定まる関数空間を導入し,その基本的な性質について学ぶ.最後に,直積空間上の(逐次)積分の測度論的な取り扱いとして,Fubiniの定理について学ぶ.本科目は演習科目「解析学演習C第一」とセットで履修することが強く推奨される.
測度および積分の理論は,Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された.これは,長さや面積,体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる.無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は,自然に理論の枠内で取り扱うことができる.本講義を通じて,Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり,それが解析学において如何に有効になるのかを伝えたい.

到達目標

・可算加法族および測度の概念に馴染むこと.
・与えられた可測関数が可測である理由を説明できるようになること.
・積分の基本的な性質について,それが成り立つ理由を知り使いこなせるようになること.
・収束定理を,正しく仮定を判定して適用できるようになること.
・測度の基本的な構成方法の概略を説明できるようになること.
・Lebesgue積分とRiemann積分の違いが説明できるようになること.
・Lebesgue積分の理論を微分積分学の問題に応用できるようになること.
・積分に関する関数不等式や関数空間を用いる考え方に馴染むこと.
・Fubiniの定理を(多)重積分・逐次積分の計算に正しく適用できるようになること.

キーワード

可算加法族,可測空間,測度,測度空間,Lebesgue測度,可測関数,Lebesgue積分,単調収束定理,Fatouの補題,優収束定理,Hopfの拡張定理,外測度,Caratheodory可測性,Riemann積分,H\"olderの不等式,Minkowskiの不等式,Lebesgue空間,直積測度,Fubiniの定理

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
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授業の進め方

通常の講義形式.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 測度論およびLebesgue積分論の概観 講義中に指示する
第2回 可算加法族 講義中に指示する
第3回 (可算加法的)測度とその基本的性質,完備性 講義中に指示する
第4回 可測関数 講義中に指示する
第5回 積分の定義とその基本的性質 講義中に指示する
第6回 収束定理(単調収束定理,Fatouの補題,優収束定理)とその適用例 講義中に指示する
第7回 収束定理の応用 講義中に指示する
第8回 測度の拡張定理 講義中に指示する
第9回 外測度と測度の構成 講義中に指示する
第10回 Riemann積分とLebesgue積分の関係 講義中に指示する
第11回 L^p-空間とその完備性,基本的な関数不等式 講義中に指示する
第12回 直積測度と累次積分 講義中に指示する
第13回 Fubiniの定理とその応用 講義中に指示する
第14回 Fubiniの定理の拡張 講義中に指示する
第15回 理解度確認 講義中に指示する

教科書

特になし.

参考書、講義資料等

「ルベーグ積分 要点と演習」相川弘明 ・小林政晴 著 (共立出版)
「ルベーグ積分の基礎・基本」谷口説男著 (牧野書店)
W. Rudin "Real and complex analysis" McGraw-Hill.

成績評価の基準及び方法

中間試験(およそ50%)および期末試験(およそ50%).

関連する科目

  • MTH.C305 : 実解析第一
  • MTH.C306 : 実解析第二
  • ZUA.C306 : 解析学演習C第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

解析学概論第一,同第二,位相空間論第一,同第二を履修済みであることが望ましい.
解析学演習C第一を同時に履修することが強く推奨される(未履修の場合).

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