代数学は数学的対象のもつ演算規則を抽象化・一般化した理論である。本講義の主要なテーマは、演算規則に関する基本的な概念と性質、および整数や多項式の抽象化・一般化である (可換な) 環とそのイデアル、剰余環等の概念と性質である。
本講義で学ぶ内容は代数学全体の基礎であるだけでなく、解析学や幾何学等、他の分野においても必須である。また、直感に頼らずに論証を行う事は、数学のみならず全ての数理系科学において基本的な態度である。本講義では、集合と写像の概念に基づいた厳密な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。
代数学において重要な概念である、環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、環の準同型写像、環の準同型定理、中国剰余定理、ユークリッド整域、単項イデアル整域、素元・既約元、一意分解整域、等を理解し、習熟する事。また、これらについての基本的な性質を自力で証明できる様になる事。
環、部分環、体、整域、イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、環の準同型写像、環の準同型定理、中国剰余定理、ユークリッド整域、単項イデアル整域、素元・既約元、一意分解整域
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式による講義を行う。
授業計画 | 課題 | |
---|---|---|
第1回 | 環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第2回 | 環の定義から導かれる諸性質 | 講義中に指示する。 |
第3回 | 部分環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第4回 | 可逆元・べき零元と体・整域 | 講義中に指示する。 |
第5回 | イデアルの定義と例 | 講義中に指示する。 |
第6回 | 剰余環の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第7回 | 素イデアルと極大イデアル | 講義中に指示する。 |
第8回 | 理解度確認 | 講義中に指示する。 |
第9回 | 環の準同型写像の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第10回 | 環の準同型定理とその応用例 | 講義中に指示する。 |
第11回 | 中国剰余定理とその応用例 | 講義中に指示する。 |
第12回 | ユークリッド整域の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第13回 | 単項イデアル整域の定義と例 | 講義中に指示する。 |
第14回 | 素元・既約元の定義と諸性質 | 講義中に指示する。 |
第15回 | 一意分解整域 | 講義中に指示する。 |
学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
中島匠一 : 代数と数論の基礎, 共立出版, 2000.
堀田良之:代数入門-環と加群-,裳華房, 1987.
アンドレ・ヴェイユ:初学者のための整数論(ちくま学芸文庫),筑摩書房,2010.
中間試験および期末試験。 詳細は講義中に指示する。
「線形代数学第一・演習」「線形代数学第二」「線形代数学演習第二」を履修していることを前提とする。
「代数学演習A第一 (ZUA.A202)」を同時に履修することが強く推奨される(未履修の場合)。