本講義の概要は,Klein群とその変形についての基本的な理論の解説である.特に重要な概念は以下の通りである:
Klein群,擬等角写像,タイヒミュラー空間.Klein群の変形をRiemann面の擬等角変形として捉えることで,Riemann面の変形空間であるタイヒミュラー空間との関係を見ることができる.これらの理解のために,まず今後扱う双曲型Riemann面と双曲幾何について学習する.さらにこの被覆変換群となるFuchs群と,この一般化となるKlein群の性質とRiemann面との関係を見る.次にRiemann面の変形を与える擬等角写像の定義をし,Fuchs群と合わせてタイヒミュラー空間の記述を行う.最後にタイヒミュラー空間の複素構造や,Klein群を利用しての境界表現,その他タイヒミュラー空間論の応用を与える.
本講義のねらいは,Klein群の変形に関する基礎概念と基礎理論の習得である.講義の中に登場する双曲型Riemann面やKlein群の不連続領域は,複素解析学の諸分野の中でも,双曲幾何学,複素力学系など分野に関連する.また,Klein群の変形理論と密接な関係を持つものがタイヒミュラー空間論という重要な研究分野であり,互いに多くの応用が知られている.本講義は,理論の理解の他に,テーマとしてこれら低次元の複素多様体をベースとした研究に対する見解を広めてもらうことを考えている.
・ほとんどのRiemann面に双曲計量を導入できることと,対応する各Fuchs群の性質を理解できること.
・Klein群の定義を知り,その不連続領域とRiemann面との関係を理解できること.
・擬等角写像の二種類の定義を理解し,Riemann面の変形を表すことを理解すること.
・Klein群の変形空間とタイヒミュラー空間の関係とこれらの応用を知ること.
双曲幾何,Riemann面,Fuchs群,Klein群,擬等角写像,タイヒミュラー空間.
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 一次分数変換 | 講義中に指示する. |
第2回 | 双曲幾何学 | |
第3回 | 被覆の理論 | |
第4回 | 普遍被覆面と一意化定理 | |
第5回 | 双曲型Riemann面とFuchs群 | |
第6回 | Fuchs群の性質(基本領域,双曲計量) | |
第7回 | Fuch群の性質(清水の補題,traceと双曲的長さ) | |
第8回 | Klein群の定義と性質 | |
第9回 | Klein群の極限集合と不連続領域 | |
第10回 | 擬等角写像(幾何学的定義) | |
第11回 | 擬等角写像(解析的定義とベルトラミ方程式) | |
第12回 | Klein群の変形空間 | |
第13回 | タイヒミュラー空間の表現 | |
第14回 | タイヒミュラー空間とKlein群 | |
第15回 | タイヒミュラー空間論の応用 |
使用しない
今吉洋一,谷口雅彦:タイヒミュラー空間論(日本評論社)
レポート課題(100%)による.
MTH.C302 : 複素解析第二 を履修していることが望ましい