- 開講元
- 数学コース
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- -
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.E646
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2024年度
- 開講クォーター
- 3Q
- シラバス更新日
- 2024年3月14日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の主題は，ホモロジーシリンダーのなす群の構造を理解することである．ホモロジーシリンダーはある種の境界付き3次元多様体であり，曲面の写像類群やその部分群である Torelli 群と深く関係する．さらに4次元多様体を用いて定義されるホモロジー同境群とも関わる．これらを調べる手法として，Cheptea, 葉廣, Massuyeau によって導入された LMO 関手を紹介し，その性質や応用について学ぶ．
ホモロジーシリンダーが低次元トポロジーの様々な研究対象と関係があることは上述のとおりである．本講義では，これらの関係を通して，低次元トポロジーの重要な話題や基本的な研究手法を学ぶ．たとえば，絡み目に沿った Dehn 手術やその特別な場合であるクラスパー手術は基本的かつ多くの応用を持つ．また LMO 関手に関しては，簡単な計算例に触れることにより，確実な理解につなげる．
到達目標
・絡み目に沿った Dehn 手術を扱えるようになること．
・Torelli 群とホモロジーシリンダーの関係を理解すること．
・Kontsevich 不変量や LMO 関手の低次の計算をできるようになること．
・LMO 関手とクラスパー手術の関係を理解すること．
・ホモロジーシリンダーのなす群について，低次の部分を理解すること．
キーワード
量子トポロジー，写像類群，結び目，ホモロジー同境群，Kontsevich 不変量，LMO 関手，クラスパー手術
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 以下の内容を順に解説する予定である． ・ホモロジーシリンダーと写像類群 ・Torelli 群の降中心列と次数商 ・コボルディズムのなす圏とタングルのなす圏 ・Jacobi 図と Kontsevich 不変量 ・LMO 関手とクラスパー手術 ・LMO 関手から誘導される準同型写像 ・ホモロジーシリンダーに関わる群の構造 | 講義中に指示する |
授業時間外学修（予習・復習等）
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
適宜参考文献を講義中に紹介する
参考書、講義資料等
T. Ohtsuki, Quantum invariants: a study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything 29, World Sci., River Edge, NJ (2002)
成績評価の基準及び方法
レポート課題(100%)による．
関連する科目
- MTH.B211 ： 幾何学概論第一
- MTH.B212 ： 幾何学概論第二
- MCS.M426 ： 幾何学特論
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
トポロジーの基本事項を習得していることが望ましい.
その他
Not in particular
