- 開講元
- 数学コース
- 授業形態
- 講義 (対面型)
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 集中講義等
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.E433
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2024年度
- 開講クォーター
- 2Q
- シラバス更新日
- 2024年3月14日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
スピン幾何学とは，スピノール場に作用するディラック作用素や特殊なスピノール場を用いて幾何学及び解析学を行う分野である．本講義ではスピン幾何学を研究するための基本事項（クリフォード代数．スピノール場．ディラック作用素，ツイスター作用素）を講義し，Friedrich固有値評価とキリング-スピノール場にを説明する．そして，Wangによる平行スピノールを持つ多様体の分類，Barによる実キリングスピノールを持つ多様体の分類について解説する．また，最近の話題としてスピン3/2幾何学を解説する．
これらの話題を通して，スピン幾何学が様々な幾何構造（アインシュタイン多様体，G2多様体などのリッチ平坦多様体など）と関わりがあり現代微分幾何学で重要であることが理解できる．
到達目標
・クリフォード代数，スピン群の表現の理解
・スピン多様体，ディラック作用素，ツイスター作用素の理解
・キリング-スピノール場とアインシュタイン多様体の理解
・キリング-スピノール場を持つ多様体と幾何構造の関係の理解
キーワード
クリフォード代数，スピノール場，ディラック作用素，キリング-スピノール場，アインシュタイン多様体
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | ・クリフォード代数とスピン群，スピノール表現， ・スピン構造 ・レビチビタ接続，スピン接続，ホロノミー群 ・ディラック作用素と指数定理 ・固有値評価とキリング-スピノール場 ・アインシュタイン多様体と様々な幾何構造 ・ 分類定理（平行/キリング-スピノール場をもつ多様体の分類） ・スピン3/2幾何学 | 講義中に指示する |
教科書
使用しない．
参考書、講義資料等
``スピン幾何学 -スピノール場の数学-'' 本間泰史 著 森北出版
``Real Killing spinors and holonomy’’, C Bär, Comm. Math. Phys. 154 (1993), 509–521.
``spin geometry'' by J. Figueroa-O'Farrill (@ https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/SpinNotes.pdf)
``spin geometry'' by C. Bär (＠ https://www.math.uni-potsdam.de/en/professuren/geometry/teaching/lecture-notes）
成績評価の基準及び方法
レポート課題(100%)による．
関連する科目
- MTH.B341 ： 位相幾何学
- MTH.B301 ： 幾何学第一
- MTH.B302 ： 幾何学第二
- MTH.B331 ： 幾何学続論
- MTH.C305 ： 実解析第一
- MTH.C306 ： 実解析第二
- MTH.C351 ： 函数解析
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
可微分多様体についての基礎知識
