2021年度 数学最先端特別講義M   Special lectures on current topics in Mathematics M

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開講元
数学コース
担当教員名
山本 修司  鈴木 正俊 
授業形態
講義    (ZOOM)
曜日・時限(講義室)
集中講義等   
クラス
-
科目コード
MTH.E643
単位数
2
開講年度
2021年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
2021年3月19日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

Riemannゼータ関数やDirichlet L関数の非正整数における値の計算は,Euler以来の古典的なテーマである.新谷卓郎は錐分割という卓抜なアイディアによって,これを一般の総実代数体に拡張する結果を得た.最近,坂内健一氏・萩原啓氏・山田一紀氏らとの共同研究において,新谷の結果を「代数トーラス族の同変層係数コホモロジー」という枠組みで再解釈し,より自然な理解を与えることに成功したので,それらのことについて解説する.また同様の枠組みを使って,p進L関数の正整数における値をp進ポリログで表す公式(有理数体におけるColemanの定理の拡張)についても述べたい.
講義の中心となるテーマは「新谷生成類」というある種のコホモロジー類を具体的に構成することである.古典的な有理数体の場合,新谷生成類はt/(1-t)という有理関数に他ならない.このように,関数の自然な一般化としてコホモロジー類を考えることは,今回のケースに限らず,古典的な定理・公式の拡張を考える際に有用となる可能性がある.この講義を通じてその視点を獲得し,コホモロジーを扱う方法の実例とともに学んでほしい.

到達目標

・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値が,一つの生成関数で記述される仕組みを理解すること
・総実代数体のゼータ関数に対する新谷の仕事の概要を理解すること
・総実代数体に付随する代数トーラス族,および同変コホモロジーのCech複体による記述を知ること
・新谷生成類の構成,およびその等分点における特殊化の計算法を理解すること
・総実代数体のp進ポリログの構成,およびp進L関数の値との関係を知ること

キーワード

総実代数体,Lerchゼータ関数,Hecke L関数,新谷生成類,p進L関数,p進ポリログ

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 以下の内容を解説する予定である. ・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値に関する古典的結果 ・総実代数体のゼータ関数の特殊値に関する新谷の仕事 ・代数トーラス族およびその同変コホモロジーの記述 ・新谷生成類の構成 ・新谷生成類の等分点への特殊化の計算 ・p進L関数とp進ポリログの構成およびそれらの関係 講義中に指示する.

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

Bannai et al.: Canonical equivariant cohomology classes generating zeta values of totally real fields, arXiv:1911.02650
Bannai et al.: p-adic polylogarithms and p-adic Hecke L-functions for totally real fields, arXiv:2003.08157

成績評価の基準及び方法

レポート課題(100%)による.

関連する科目

  • MTH.A301 : 代数学第一
  • LAS.M106 : 線形代数学第二
  • MTH.A331 : 代数学続論

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

特になし

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