本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。Floer ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では Heegaard Floer homology とその応用を学ぶ。
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。
結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 | 定義と性質の確認 |
第2回 | Alexander 多項式(無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列)、Seifert の定理 | 定義と性質の確認 |
第3回 | Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 | 定義と性質の確認 |
第4回 | Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams | 定義と性質の確認 |
第5回 | 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 | 定義と性質の確認 |
第6回 | d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 | 定義と性質の確認 |
第7回 | Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 | 定義と性質の確認 |
学修効果を上げるため,参考書等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
特になし
講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)
レポート課題(100%).
代数トポロジー(ホモロジー、コホモロジー、基本群等)を仮定する。基本的な複素解析を知っていることが望ましい。
掲載されたトピックを変更する権利を保持する。もし聴講者が昨年の同じコースと重なるようであれば、間違いなくトピックを変更する。例えば、Homfly多項式やHeegaard Floer理論のより高度な発展などが考えられる。