本講義は,直前に行われる「実解析第二」に続くものである.本講義では,測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する,より発展的な概念と性質を扱う.まず測度の構成や拡張について学ぶ.次に,Lebesgue測度による積分とRiemann積分との関係を明らかにする.その次に,積分により定まる関数空間を導入し,その基本的な性質について学ぶ.最後に,直積空間上の(逐次)積分の測度論的な取り扱いとして,Fubiniの定理について学ぶ.
Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された測度および積分の理論は,長さや面積,体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる.無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は,自然に理論の枠内で取り扱うことができる.本講義を通じて,Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり,それがどのような局面で有効となるのかを伝えたい.
・測度の基本的な構成方法の概略を説明できるようになること.
・Lebesgue積分とRiemann積分の違いが説明できるようになること.
・Lebesgue積分の理論を微分積分学の問題に応用できるようになること.
・積分に関する関数不等式や関数空間を用いる考え方に馴染むこと.
・Fubiniの定理を(多)重積分・逐次積分の計算に正しく適用できるようになること.
Hopfの拡張定理,外測度,Caratheodory可測性,Riemann積分,H\"olderの不等式,Minkowskiの不等式,Lebesgue空間,直積測度,Fubiniの定理
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 測度の拡張定理 | 講義中に指示する |
第2回 | 第1回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第3回 | 外測度と測度の構成 | 講義中に指示する |
第4回 | 第3回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第5回 | Riemann積分とLebesgue積分の関係 | 講義中に指示する |
第6回 | 第5回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第7回 | L^p-空間とその完備性,基本的な関数不等式 | 講義中に指示する |
第8回 | 第7回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第9回 | 直積測度と累次積分 | 講義中に指示する |
第10回 | 第9回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第11回 | Fubiniの定理とその応用 | 講義中に指示する |
第12回 | 第11回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
第13回 | Fubiniの定理の拡張 | 講義中に指示する |
第14回 | 第13回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
特になし.
「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」Gerald B. Folland(Wiley)
「ルベーグ積分入門 」伊藤清三著(裳華房)
試験,レポートと演習時の発表.
実解析第一を履修済みであること.
解析学概論第一,同第二,位相空間論第一,同第二を履修済みであることが望ましい.