本講義の主要なテーマは、(可換) 環とそのイデアルに関する基本的な諸概念と性質である。本講義では、先ず、(可換) 環とその種々のイデアル (単項イデアル、素イデアル、極大イデアル等の)、そしてこれらによる剰余環の基本的な性質を学ぶ。次に、環の間の準同型写像の概念、そして準同型定理・中国剰余定理を学ぶ。最後に、ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質、そして一意分解環における素元と既約元の概念等を学ぶ。各回で、講義内容に関する問題演習を行う。本講義は、引き続いて行われる 「代数学第二」 に続くものである。
環とそのイデアル、そして剰余環は、代数学において最も基本的な概念であり、適用範囲の非常に広いものである。一方で、これらは抽象的な概念であり、多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では、(可換) 環の典型例である有理整数環・多項式環を通してこの様な抽象的概念に親しむことで、概念の定着を図る。
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアル、単項イデアル、素イデアル、極大イデアル、剰余環の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・準同型定理と中国剰余定理を理解し、正しく使う事ができる。
・ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質を説明する事ができる。
・一意分解環における素元と既約元の概念を理解し、正しく使う事ができる、
環、イデアル、単項イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、単項イデアル整域
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式による講義と、問題演習形式の講義を交互に行う。
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 可逆元・零因子・べき零元と、整域 | 講義中に指示する。 |
第2回 | 第 1 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第3回 | イデアルと単項イデアル | 講義中に指示する。 |
第4回 | 第 3 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第5回 | 素イデアル・極大イデアルと剰余環 | 講義中に指示する。 |
第6回 | 第 5 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第7回 | 準同型定理および中国剰余定理 | 講義中に指示する。 |
第8回 | 第 7 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第9回 | ユークリッド整域 | 講義中に指示する。 |
第10回 | 第 9 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第11回 | 単項イデアル整域 | 講義中に指示する。 |
第12回 | 第 11 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
第13回 | 一意分解環、素元と既約元 | 講義中に指示する。 |
第14回 | 第 13 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
講義中に指示する。
講義中に指示する。
講義中に指示する。
線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一、線形空間論第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四を履修済みであること、またはそれと同等の知識があること。
特になし。