2020年度 位相幾何学   Topology

文字サイズ 

アップデートお知らせメールへ登録 お気に入り講義リストに追加
開講元
数学系
担当教員名
遠藤 久顕 
授業形態
講義
メディア利用
Zoom
曜日・時限(講義室)
火5-6(H111)  金5-6(H111)  
クラス
-
科目コード
MTH.B341
単位数
2
開講年度
2020年度
開講クォーター
4Q
シラバス更新日
2020年9月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
アクセスランキング
media

講義の概要とねらい

 本講義では、ホモロジー群および基本群に関する基本事項を学ぶ。ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。
講義の流れとして, まずホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複体、単体写像などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入し、ホモロジー群のホモトピー不変性を紹介する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van Kampenの定理を述べる。
 

到達目標

・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること

キーワード

ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、基本群、Seifert-van Kampenの定理

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式による授業を行う。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 あらまし、積空間、商空間、ホモトピー 講義中に指示する
第2回 ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、単体、面、重心座標 講義中に指示する
第3回 単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体 講義中に指示する
第4回 幾何学的実現、単体写像、同型、単体の重心、可接合、結 講義中に指示する
第5回 重心細分、開星状体、単体近似、Lebesgueの補題 講義中に指示する
第6回 単体近似定理、単体の向き、鎖群、境界準同型 講義中に指示する
第7回 輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler標数 講義中に指示する
第8回 Euler-Poincareの公式、錐複体、非輪状 講義中に指示する
第9回 ホモロジー群の計算 講義中に指示する
第10回 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 講義中に指示する
第11回 連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列 講義中に指示する
第12回 積複体、鎖ホモトピー 講義中に指示する
第13回 ホモロジー群のホモトピー不変性 講義中に指示する
第14回 ホモロジー群の応用 講義中に指示する

授業時間外学修(予習・復習等)

学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

田村一郎「トポロジー」岩波書店

参考書、講義資料等

中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press

成績評価の基準及び方法

試験 (50%), レポート (50%)

関連する科目

  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

位相空間論第一(MTH.B201)、位相空間論第二(MTH.B202)、位相空間論第三(MTH.B203)、位相空間論第四(MTH.B204)、代数学概論第一(MTH.A201)、代数学概論第二(MTH.A202)、代数学概論第三(MTH.A203)、代数学概論第四(MTH.A204)を履修済みであることが望ましい。

このページのトップへ