2019年度 代数学第一   Algebra I

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開講元
数学系
担当教員名
加藤 文元 
授業形態
講義 / 演習
曜日・時限(講義室)
木3-6(H103)  
クラス
-
科目コード
MTH.A301
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
1Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

 本講義の主要なテーマは、(可換) 環とそのイデアルに関する基本的な諸概念と性質である。本講義では、先ず、(可換) 環とその種々のイデアル (単項イデアル、素イデアル、極大イデアル等の)、そしてこれらによる剰余環の基本的な性質を学ぶ。次に、環の間の準同型写像の概念、そして準同型定理・中国剰余定理を学ぶ。最後に、ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質、そして一意分解環における素元と既約元の概念等を学ぶ。各回で、講義内容に関する問題演習を行う。本講義は、引き続いて行われる 「代数学第二」 に続くものである。
 環とそのイデアル、そして剰余環は、代数学において最も基本的な概念であり、適用範囲の非常に広いものである。一方で、これらは抽象的な概念であり、多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では、(可換) 環の典型例である有理整数環・多項式環を通してこの様な抽象的概念に親しむことで、概念の定着を図る。

到達目標

本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアル、単項イデアル、素イデアル、極大イデアル、剰余環の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・準同型定理と中国剰余定理を理解し、正しく使う事ができる。
・ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質を説明する事ができる。
・一意分解環における素元と既約元の概念を理解し、正しく使う事ができる、

キーワード

環、イデアル、単項イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、単項イデアル整域

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - - -

授業の進め方

通常の講義形式による講義と、問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 可逆元・零因子・べき零元と、整域 講義中に指示する。
第2回 第 1 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第3回 イデアルと単項イデアル 講義中に指示する。
第4回 第 3 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第5回 素イデアル・極大イデアルと剰余環 講義中に指示する。
第6回 第 5 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第7回 準同型定理および中国剰余定理 講義中に指示する。
第8回 第 7 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第9回 ユークリッド整域 講義中に指示する。
第10回 第 9 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第11回 単項イデアル整域 講義中に指示する。
第12回 第 11 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第13回 一意分解環、素元と既約元 講義中に指示する。
第14回 第 13 回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する。
第15回 理解度確認 講義中に指示する。

教科書

特に指定しない。

参考書、講義資料等

「代数学 I: 基礎概念・環・加群」浅野重初著 森北出版
「代数と数論の基礎」中島匠一著 共立出版

成績評価の基準及び方法

期末試験 (70 %) 、および問題演習における解答状況 (30 %)。

関連する科目

  • MTH.A201 : 代数学概論第一
  • MTH.A202 : 代数学概論第二
  • MTH.A203 : 代数学概論第三
  • MTH.A204 : 代数学概論第四
  • MTH.A302 : 代数学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一、線形空間論第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四を履修済みであること、またはそれと同等の知識があること。

その他

特になし。

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