スピン幾何学とは,スピノール場に作用するディラック作用素や特殊なスピノール場を用いて幾何学及び解析学を行う分野である.本講義ではスピン幾何学を研究するための基本事項(クリフォード代数.スピノール場.ディラック作用素,ツイスター作用素)を講義し,Friedrich固有値評価とキリング-スピノール場にを説明する.そして,Wangによる平行スピノールを持つ多様体の分類,Barによる実キリングスピノールを持つ多様体の分類について解説する.また,最近の話題としてスピン3/2幾何学を解説する.
これらの話題を通して,スピン幾何学が様々な幾何構造(アインシュタイン多様体,G2多様体などのリッチ平坦多様体など)と関わりがあり現代微分幾何学で重要であることが理解できる.
・クリフォード代数,スピン群の表現の理解
・スピン多様体,ディラック作用素,ツイスター作用素の理解
・キリング-スピノール場とアインシュタイン多様体の理解
・キリング-スピノール場を持つ多様体と幾何構造の関係の理解
クリフォード代数,スピノール場,ディラック作用素,キリング-スピノール場,アインシュタイン多様体
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | ・クリフォード代数とスピン群,スピノール表現, ・スピン構造 ・レビチビタ接続,スピン接続,ホロノミー群 ・ディラック作用素と指数定理 ・固有値評価とキリング-スピノール場 ・アインシュタイン多様体と様々な幾何構造 ・ 分類定理(平行/キリング-スピノール場をもつ多様体の分類) ・スピン3/2幾何学 | 講義中に指示する |
使用しない
``スピン幾何学 -スピノール場の数学-'' 本間泰史 著 森北出版
``Real Killing spinors and holonomy’’, C Bär, Comm. Math. Phys. 154 (1993), 509–521.
``spin geometry'' by J. Figueroa-O'Farrill (@ https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/SpinNotes.pdf)
``spin geometry'' by C. Bär (@ https://www.math.uni-potsdam.de/en/professuren/geometry/teaching/lecture-notes)
レポート課題(100%)による.
特になし