2019年度 偏微分方程式と物理現象   Partial Differential Equations for Science and Engineering

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開講元
融合理工学系
担当教員名
木内 豪  中村 恭志  筒井 広明  中村 隆志 
授業形態
講義 / 演習
曜日・時限(講義室)
火5-6(S513)  金5-6(S513)  
クラス
-
科目コード
TSE.M202
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
4Q
シラバス更新日
2019年3月24日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

 本講義では、偏微分方程式に関する基礎的な知識と、その解析解と数値解を求める方法を扱う。理工学分野で取り扱う一連の諸問題を取り上げ、物理現象の偏微分方程式による記述、偏微分方程式の性質、解析解を求める代表的方法、および数値的に解を求める方法について講義と演習を行う。数値的な方法の講義では講義とコンピュータ演習を密接に組み合わせて、実際に数値解析を実施する能力を涵養する。
 偏微分方程式は理工学における物理現象を記述する共通言語となっており、物理現象を偏微分方程式で記述する能力、あるいは偏微分方程式から記述されている物理現象を読み解く能力を身につけることは、理工学を学ぶうえで必須となっている。講義を通じ、方程式を解く能力とともに、これらを身につけてもらいたい。

到達目標

 本講義を履修することにより次の知識と実践力を修得する。
1) 物理現象を偏微分方程式により記述できる。
2) 偏微分方程式から物理的意味を読み取れる。
3) 偏微分方程式の解析解を求める基礎的な方法を修得する。
4) 偏微分方程式の数値解の方法を理解し、実際に行えるようになる。

キーワード

偏微分方程式、物理現象のモデル化、移流方程式、波動方程式、拡散・熱伝導方程式、Poisson方程式、解析解、数値解

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - -

授業の進め方

前半の講義では解析的な事項について学び、後半の講義では数値的な解法について学ぶとともにコンピュータ上での演習を行います。予習・復習をしっかり行ってください。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 偏微分方程式入門 偏微分の定義、変数変換の法則などの基礎的知識を確認し、常微分方程式との違いを説明できるようになる。
第2回 1階の偏微分方程式 1階の偏微分方程式を解析的に解けるようになる。
第3回 偏微分方程式の型分類(双曲型、放物型、楕円型)と物理現象 双曲型偏微分方程式の解析的解法を理解し、実際の解法を通じて双曲型方程式の持つ物理的意味合いを説明できるようになる。
第4回 偏微分方程式の型(双曲型、放物型、楕円型)と、その性質 双曲型偏微分方程式の解析的解法を理解し、実際の解法を通じて双曲型方程式の持つ物理的意味合いを理解する。
第5回 変数分離法 分子運動など確率的な移動過程から拡散方程式が導出できるようになる
第6回 円形境界での波動方程式 方物型PDEの解析的解法を学び、基本解による解の一般的表現と方程式の持つ物理的意味合いを説明できるようになる。
第7回 2次元でのラプラス方程式 楕円型方程式がどのような場合に現れるのかを説明できるようになる。
第8回 3次元でのラプラス方程式 第1回から第8回までの理解度確認と到達度評価
第9回 固有関数展開法 偏微分方程式の数値解法の基本的な方法を説明できるようになる。
第10回 フーリエ変換を利用した解法 差分法に基づく方物型PDEの数値解法の原理と方法を説明できるようになる。
第11回 グリーン関数による解法 実際にプログラムを開発し方物型PDEの数値解が出来るようになる。
第12回 偏微分方程式の数値解法の基礎 偏微分方程式の数値解法の基本的な方法を理解し、差分法の安定性を評価できる。
第13回 偏微分方程式の数値解法の演習ー楕円型方程式 差分法に基づく楕円型PDEの数値解法の原理を理解し差分法で数値解析が出来る。
第14回 偏微分方程式の数値解法の演習ー方物型方程式 差分法に基づく方物型PDEの数値解法の原理を理解し差分法で数値解析が出来る。
第15回 偏微分方程式の数値解法の演習ー双曲型方程式 差分法に基づく双曲型PDEの数値解法の原理を理解し差分法で数値解析が出来る。

教科書

「キーポイント 偏微分方程式」
https://www.iwanami.co.jp/book/b260895.html

参考書、講義資料等

Erwin Kreiszig, Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons.
登坂宣好、大西和栄、偏微分方程式の数値シミュレーション、東京大学出版会
越塚誠一、数値流体力学、培風館

成績評価の基準及び方法

「偏微分方程式と物理現象の関係」、「偏微分方程式の解析解の求め方と特徴」、「偏微分方程式の数値解析法」についての理解と応用力について評価します。演習と課題30%、試験70%で評価します。

関連する科目

  • TSE.M201 : 常微分方程式と物理現象

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

常微分方程式と物理現象を履修していること、また同等の知識があること。

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