2021年度 離散最適化   Discrete Optimization

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開講元
数理・計算科学コース
担当教員名
澄田 範奈  山下 真 
授業形態
講義    (ZOOM)
曜日・時限(講義室)
月3-4  木3-4  
クラス
-
科目コード
MCS.M421
単位数
2
開講年度
2021年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
2021年3月19日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

離散最適化問題を効率良く解くには,問題のもつ構造の解明が非常に重要である.本講義では,マトロイドと呼ばれる基本的な数理構造に関する理論を解説する.「マトロイド」とは「行列のようなもの」という意味であり,マトロイドはベクトルの一次独立性を抽象化した概念である.講義ではマトロイドの定義から始め,マトロイドの性質を解説し,マトロイド上の基本的な離散最適化問題とそのアルゴリズムを紹介する.また,マトロイドの多面体的性質や劣モジュラ関数といった,関連する概念を紹介する.

本講義のねらいは,離散最適化問題におけるマトロイドの重要性を認識してもらうことである.マトロイドは,解きやすい離散最適化問題の多くに関係しているとも言われるほどに重要である.問題がどういう構造をもつときに解きやすいかという点を知ることは,離散最適化問題を解く上で大きな助けになるはずである.

到達目標

本講義の目標は以下である.
1. マトロイドに関する基本的な概念と離散最適化における重要性を説明できる.
2. マトロイド構造をもつ基本的な離散最適化問題を認識することができる.
3. マトロイド構造をもつ基本的な離散最適化問題のアルゴリズムを説明できる.

キーワード

離散最適化,組合せ最適化,マトロイド,劣モジュラ関数,グラフアルゴリズム,多面体

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

毎回ひとつのトピックに絞って解説する.講義内容の確認のため,講義中にクイズを出題する.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 イントロダクション,グラフの復習 講義内容全体の概要を把握
第2回 マトロイドの公理と特徴づけ
第3回 グラフとマトロイド
第4回 マトロイドに対する操作
第5回 最大重み独立集合問題
第6回 マトロイド交叉
第7回 マトロイド交叉定理
第8回 マトロイドの合併
第9回 マトロイドの応用 (1)
第10回 マトロイドの応用 (2)
第11回 整数多面体
第12回 マトロイドの独立多面体
第13回 ポリマトロイド
第14回 劣モジュラ関数 期末レポート

授業時間外学修(予習・復習等)

学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する 予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

教科書は指定しない.以下の参考書を基に作成した講義資料を使用する.

参考書、講義資料等

Alexander Schrijver: Combinatorial Optimization - Polyhedra and Efficiency, Springer, 2003.
伊理正夫,藤重 悟,大山達夫:グラフ・ネットワーク・マトロイド,産業図書,1986年.

成績評価の基準及び方法

レポート課題と講義中のクイズの成績により評価する.

関連する科目

  • MCS.T322 : 組合せアルゴリズム

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数や線形計画問題に関する学部レベルの知識があること.グラフ理論に関する基礎知識があると望ましい.

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