国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

この科目は講義と演習からなる。講義の部分では、数理最適化モデルの基礎となっている線形計画問題について、代表的な解法であるシンプレックス法および双対定理などの理論面を扱う。非線形最適化では、最適解の満たす最適性条件の理論的性質についてふれた後、最急降下法や内点法などの計算手法を扱う。演習の部分では、シンプレックス法を実際に線形計画問題に適用し、その手順を確認する。また、講義内容の証明の一部などを行うことで、理論面の理解を深める。

数理最適化は、「特定の条件を満たす中から、最適な解を選び出す」という最適化に数学的なアプローチを行う学問であり、理学・工学の諸問題と密接に関係しているだけでなく、実社会に幅広く用いられている。例えば、必要なエネルギーを確保する食事メニューの中から、最小カロリーとなっているメニューを選び出す、などのようなダイエット問題を数学でどのように解くか、というようなことが考えられる。実社会の最適化問題をどのような数学的性質を使って性質をどのような手順で解いていくのか、理論面と計算面の２つを楽しめる科目である。

到達目標

この科目によって，以下の内容を修得する。
(1) シンプレックス法による線形計画問題の求解
(2) 双対理論など線形計画問題の理論的性質を理解して，求解に用いることができる
(3) 非線形最適化における最適性条件と最適解の関係性を理解できる
(4) 最急降下法や内点法など，非線形最適化の計算手法の枠組みと特徴を説明できる

キーワード

線形計画問題，シンプレックス法，双対理論，感度分析，最短路問題，最大流問題，凸関数，非線形最適化問題の最適性条件，Karush-Kuhn-Tucker 条件，最急降下法，Newton 法，逐次２次計画法，内点法

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

講義では，計算手法や理論的性質などの解説を主に行います。演習では，計算手法を実際に適用して数理最適化問題の求解や非線形最適化理論の証明に関する演習問題に取り組んでもらいます。なお，演習は基本的に毎回レポートを提出してもらいます。

授業計画・課題

授業時間外学修（予習・復習等）

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ本学の学修規程で定められた時間を目安に行う。

教科書

教科書は必須ではないが、次の項目にある参考書などを参考として講義内容としている。

参考書、講義資料等

・ 「数理最適化」, 久野誉人, 繁野麻衣子, 後藤順哉, オーム社, 2012
・ 「最適化法」，田村明久, 村松正和, 共立出版, 2002
・ Linear and Nonlinear Optimization, Igor Griva, Stephen G. Nash, Ariela Sofer, SIAM,
2009
・ Linear Programming, Vasek Chvatal, Freeman, 1983
・ Linear Optimization, Glenn H. Hurlbert, Springer, 2010
・ Introductory Lectures on Convex Optimization, Yurii Nesterov, Kluwer Academic Publishers, 2004

成績評価の基準及び方法

線形計画問題については，シンプレックス法を適用した求解や，双対理論，ネットワーク最適化などの理解度を評価します。
非線形最適化理論については，最急降下法などの計算手法および最適性条件などの理論面についての理解度を評価します。

配点は，期末試験（約５０％），演習でのレポート状況（約５０％）
（ただし、期末試験が行えない場合はレポート課題を課す可能性もある）

関連する科目

• MCS.T203 ： 応用線形代数
• MCS.T322 ： 組合せアルゴリズム

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

応用線形代数 (MCS.T203) を履修していること，または同等の知識があること。

その他

(2023年度) 期末試験については試験期間中の対面試験の予定であるが，新型コロナウィルスの状況によってオンライン試験あるいは期末レポートなどにすることもある。