統計学はデータから有用な情報を引き出し,人間の意思決定に役立てる学問である.本講義では,数理統計学の推定論と検定論に関する標準的な事項を解説する.まず推定論における不偏推定とクラメール・ラオ不等式の関係や最尤推定などについて説明する.次に実用上重要な信頼区間について紹介し,その後,検定の考え方や最適な検定法について解説する.さらに,線形回帰における最小二乗法,信頼区間,検定について考察し,分散分析へと議論を進める.
到達目標:数理統計学の標準的な基礎事項を学び,統計的諸手法の理論的基礎を理解する.
テーマ:統計学における一般論と具体的な計算を通して,観測データの背後にある確率構造を知るための方法論を学ぶ.
不偏推定,最尤推定,クラメール・ラオの不等式,フィッシャー情報量,漸近論,信頼区間,ブートストラップ法,検定,ネイマン・ピアソンの補題,線形回帰,最小二乗法,情報量規準,分散分析.
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | ✔ 展開力(実践力又は解決力) |
講義と演習の組みで授業を進める.講義では主に黒板の板書を用いて解説し,期末に試験を実施する.演習では,各自問題を解答し,レポートを解いて提出する.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | ガイダンス,線形代数と確率論の復習 | 統計学に必要な線形代数と確率論の基本知識を復習する.多次元確率変数の初歩を学ぶ. |
第2回 | 標本分布 | 統計学で必要となる確率分布を学ぶ. |
第3回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第4回 | 統計的推定の問題設定 | 統計的推定の問題設定を学ぶ. |
第5回 | 統計的推定:フィッシャー情報量とクラメール・ラオの不等式 | フィッシャー情報量とクラメール・ラオ不等式について学び,不偏推定量の推定精度との関連を理解する. |
第6回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第7回 | 統計的推定:最尤推定量 | 汎用的な統計手法である最尤推定について学ぶ. |
第8回 | 信頼区間の構成 | 推定量の信頼度を与える方法を学ぶ |
第9回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第10回 | ブートストラップ信頼区間 | ブートストラップ法を信頼区間の構成に応用する手法を学ぶ. |
第11回 | 仮説検定:検定の考え方,誤り確率 | 検定論の考え方と基礎事項を学ぶ |
第12回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第13回 | 仮説検定:ネイマン・ピアソンの補題 | 検定の最適性を特徴付けるネイマン・ピアソンの補題を学ぶ |
第14回 | 独立性検定,尤度比検定 | 検定の漸近論の立場から,独立性の検定と尤度比検定を学ぶ. |
第15回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第16回 | 線形回帰と最小2乗法 | 回帰分析の問題設定と最小2乗法を学ぶ. |
第17回 | 回帰分析における信頼区間,仮説検定 | 回帰関数における信頼区間の構成や検定の方法を学ぶ. |
第18回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第19回 | 回帰分析におけるモデル選択 | モデル選択のための情報量規準,正則化,交差検証法などの方法を学ぶ. |
第20回 | 分散分析 | 分散分析の方法を理解し,適用事例を学ぶ. |
第21回 | 演習 | 前二回分の演習を行う. |
第22回 | まとめ | 講義の総括する.今後の展望について学ぶ. |
久保川 達也,現代数理統計学の基礎,共立出版, 2017.
特になし
レポート(50%)と期末試験(50%)
特に無し.ただし,「確率論基礎」の内容程度の確率論の知識があることが望ましい.
講義:金森 (kanamori[at]c.titech.ac.jp)
演習:小渕 (obuchi[at]c.titech.ac.jp)
後日アナウンスする.