H28年度 解析力学演習 a   Exercises in Classical Mechanics

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開講元
物理学科
担当教員名
西田 祐介  足立 聡 
授業形態
演習
曜日・時限(講義室)
月5-6(H102)  木7-8(H103)  
クラス
a
科目コード
ZUB.Q212
単位数
2
開講年度
H28年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
H28年4月27日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

変分法により方程式を表す方法を学ぶ。解析力学においては、最小作用の原理という変分法により、オイラー=ラグランジュ方程式が導かれる。オイラー=ラグランジュ方程式は一般座標変換について不変である。物理系が対称性を持つならば、対応する保存量が存在することも導かれる。解析力学をハミルトン形式により表現すると、さらに広い変数変換である正準変換での運動方程式の不変性が得られる。

解析力学の論理を理解することと、具体的な物理系での計算力をつけることを共に追及する。

到達目標

ニュートン力学を最小作用の原理に基づいて再構成する。一般座標で表されたラグランジュ関数から運動方程式を導いて、解析する典型的な例題を学ぶ。正準形式を理解する。

キーワード

変分原理、最小作用の原理、オイラー=ラングランジュ形式、ラグランジュ関数、一般座標変換、対称性と保存量、ネーターの定理、ハミルトン形式、ハミルトン関数、正準変換、ハミルトン=ヤコビ形式、作用関数、変数分離法

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - -

授業の進め方

あらかじめ問題のプリントを配る。自宅で問題を解いてきてもらい、黒板で発表してもらう。発表について、議論する。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 物理学における解析力学の重要性と役割 解析力学の手法は電磁気学、量子力学、場の理論など、物理学のいたるところで使われる。
第2回 変分法 与えられた方程式を変分法により表現すると、ある範囲の変換に対する不変性が自動的に得られる。
第3回 最小作用の原理(オイラー=ラグランジュの方程式) 作用関数に対する変分法が最小作用の原理であり、オイラー=ラグランジュ方程式という運動方程式が得られる。
第4回 拘束条件付きの系 ホロノーム拘束を持つ物理系もオイラー=ラグランジュ形式により扱える。
第5回 ラグランジュ未定係数法 ホロノーム拘束を持つ系を扱うためには、変数を増やして、拘束を除去するラグランジュ未定係数法を用いる。
第6回 対称性と保存則 物理系が連続的な対称性を持つならば対応する保存量が存在することがネーターの定理によりわかる。
第7回 ラグランジュ関数の任意性 ラグランジュ関数には時間に関する完全微分を加える任意性がある。
第8回 微小振動 安定な平衡点の周りの運動は微小振動と呼ばれる。微小振動は基準振動の重ね合わせにより表現される。
第9回 剛体の運動 3次元空間における変形しない物体(剛体)の方向の運動を解析する。
第10回 正準形式 ハミルトン形式(正準形式)はオイラー=ラグランジュ形式と双璧をなす解析力学の表現形式である。
第11回 正準変換 ハミルトン方程式は一般座標変換より広い正準変換により不変である。
第12回 ポアソン括弧 ハミルトン方程式はポアソン括弧により表現できる。それにより対称性がよりあらわになる。
第13回 ハミルトン=ヤコビ方程式 対称性を持つ複数自由度の物理系はハミルトン=ヤコビの方法に基づく変数分離により解けることがある。
第14回 位相空間とリュービルの定理 正準形式による力学系の状態空間は位相空間と呼ばれる。時間発展ににより位相空間の体積が不変に保たれることをリュービルの定理は教える。
第15回 断熱不変量 物理系のパラメータをゆっくり変化させた時に不変に保たれる量が断熱不変量である。作用積分が断熱不変量を与える。

教科書

未定

参考書、講義資料等

ランダウ=リフシッツ『力学』(東京図書)
大貫義郎『解析力学』(岩波書店)

成績評価の基準及び方法

黒板発表、レポート、試験による。

関連する科目

  • ZUB.E202 : 電磁気学第一
  • ZUB.E211 : 電磁気学演習
  • ZUB.Q204 : 量子力学第一
  • ZUB.Q215 : 量子力学演習第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

1年生の時の実解析学と線形代数を習得していること。

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