国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは(可換)環と環上の加群に関する基本的な諸概念と性質である。本講義では，最初に(可換)環とそのイデアルおよび剰 余環についての基本的な事項について復習した後，環上の加群について，部分加群・剰余加群，線型写像・準同型定理，直和・直積，完全列， Hom加群，自由加群などを含む基礎事項について網羅的に履修する。その後，環や加群の局所化, ネーター環とアルティン環について学ぶ.
後半では, 局所環について学んだ後で，加群のテンソル積を導入し，その右完全性や関連する概念(平坦性 など)について基礎的な事項を履修する
また, ホモロジー代数の基本事項にも触れる. 各回で講義内容に関する問題演習を行う.
環とそのイデアルおよび環上の加群の概念，代数学において最も基本的な概念の一つであり，適用範囲の非常に広いものである. 一方で，これら は抽象的な概念でもあり，多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では(可換)環の典型例である有理整数環・多項式環など理 論に表れる典型的な具体例を通じて，これらの抽象概念に慣れていくことも目標の一つである.

到達目標

本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアルおよび環上の加群の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・テンソル積を理解し、正しく使う事ができる。
・局所化の概念を理解し、正しく使う事ができる。
・ネーター環とアルティン環について理解し，正しく使う事ができる。
・局所環について理解し，正しく使う事ができる。
・ホモロジー代数について理解し，正しく使う事ができる。

キーワード

環，イデアル，剰余環，加群，テンソル積，局所化，ネーター環，アルティン環，局所環，ホモロジー代数

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

通常の講義形式による講義を行う。

授業計画・課題

授業時間外学修（予習・復習等）

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

代数学（永尾汎著, 朝倉書店）、環と加群（山崎圭二郎著, 岩波書店）、代数学I + 代数学II（桂利行著, 東京大学出版会）、代数学2+代数学3
（雪江明彦著, 日本評論社）などから選んでください.

参考書、講義資料等

講義中に指示する。

成績評価の基準及び方法

講義中に指示する。

関連する科目

• MTH.A301 ： 代数学第一
• MTH.A302 ： 代数学第二
• MTH.A201 ： 代数学概論第一
• MTH.A202 ： 代数学概論第二
• ZUA.A302 ： 代数学演習Ｂ第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一・第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四を履修していること、またはそれと同等の知識があること。
代数学演習Ｂ第一 (ZUA.A302) を同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）。

その他

特になし。