- 開講元
- 数学科
- 担当教員名
- KALMAN TAMAS
- 授業形態
- 講義 (対面型)
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 火3-4(M-B104(H103))
- クラス
- -
- 科目コード
- ZUA.B201
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2023年度
- 開講クォーター
- 1-2Q
- シラバス更新日
- 2023年3月20日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の主要なテーマは集合と写像に関する基本的な概念と性質、順序集合とユークリッド空間および距離空間である。集合に関する基本的な演算を解説した後、集合の間の写像に関する基本的な概念（単射、全射、全単射）を学ぶ。次に、二項関係、特に同値関係について解説し、同値類および商集合について学ぶ。次に集合の間の相等について解説し、いわゆる濃度について学ぶ。次に順序集合、整列集合と帰納的順序集合を導入し、これらの概念の応用を解説する。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。本科目は演習科目「集合と位相演習」とセットで履修することが強く推奨される。
集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。
到達目標
・ド・モルガンの法則を自由に使えるようになること
・与えられた写像が全射になるか、単射になるか、全単射になるか判定できるようになること
・与えられた写像の像と逆像を求められるようになること。
・同値関係と商集合の具体例を扱えるようになること
・連続の濃度と可算の濃度の違いを理解すること
・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ強い性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること
キーワード
集合、写像、像と逆像、直積集合、二項関係、同値関係、商集合、集合の濃度、可算濃度と非可算濃度
順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 集合の定義、例、和集合、共通部分、部分集合、補集合 | 講義中に指示する |
| 第2回 | ド・モルガンの法則、分配法則、集合の間の写像 | 講義中に指示する |
| 第3回 | 像と逆像、写像の合成、直積集合 | 講義中に指示する |
| 第4回 | 集合の間の対応、添え字づけられた集合族 | 講義中に指示する |
| 第5回 | 二項関係、同値関係、同値類、商集合 | 講義中に指示する |
| 第6回 | 集合の濃度、濃度の大小関係、可算集合 | 講義中に指示する |
| 第7回 | 連続の濃度、非可算集合、巾集合の濃度 | 講義中に指示する |
| 第8回 | 順序関係、全順序、整列集合、整列集合に関する基本性質 | 講義中に指示する |
| 第9回 | 帰納的順序集合、ツォルンの補題 | 講義中に指示する |
| 第10回 | 順序数、濃度の比較定理 | 講義中に指示する |
| 第11回 | 整列可能定理、整列可能定理と選択公理の同値性 | 講義中に指示する |
| 第12回 | ツォルンの補題の応用例 | 講義中に指示する |
| 第13回 | ユークリッド空間、距離空間、開集合と閉集合 | 講義中に指示する |
| 第14回 | 距離空間における基本的概念 | 講義中に指示する |
授業時間外学修（予習・復習等）
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
「集合と位相」内田伏一著 裳華房 (1986/2020年)
参考書、講義資料等
「集合と位相」斎藤毅著 東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」松坂和夫著 岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」森田茂之著 朝倉書店 (2002年)
成績評価の基準及び方法
中間試験(およそ50%) および期末試験(およそ50%)
関連する科目
- MTH.B201 ： 位相空間論第一
- MTH.B202 ： 位相空間論第二
- ZUA.B202 ： 集合と位相演習
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。
集合と位相演習を同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）
