本科目は「幾何学第一」(ZUA.B301)の演習である.「幾何学第一」で扱われる講義の内容について、問題演習を行う。
・多様体の定義を理解すること。
・多様体の例を5つ以上挙げることができるようになること。
・多様体上の関数, 多様体間の写像が滑らかであるということの定義を理解すること
・正則値の逆像を使って多様体を構成する方法を知ること。
・接ベクトルと接空間の定義を理解すること。
・写像の微分の定義を理解すること。
・部分多様体の例を3つ以上挙げることができるようになること。
・1の分割の使い方に慣れること。
・ベクトル場の括弧積と積分曲線について理解すること。
多様体、微分構造、滑らかな関数、 滑らかな写像、 正則値、 射影空間、 接ベクトル、 接空間、 写像の微分、正則値、臨界点、逆関数定理、サードの定理、はめ込みと埋め込み、ホイットニーの埋め込み定理、1の分割、ベクトル場、括弧積、積分曲線、1助変数変換群
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
「幾何学第一」で解説した内容に関する問題演習
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 以下の内容に関する問題演習: 多様体の定義、多様体の例(球面) | 講義中に指示する |
第2回 | 以下の内容に関する問題演習: 多様体の例(球面以外の例)、微分構造 | 講義中に指示する |
第3回 | 以下の内容に関する問題演習: 滑らかな関数と写像、正則値定理による多様体の構成 | 講義中に指示する |
第4回 | 以下の内容に関する問題演習: 正則値定理の証明 | 講義中に指示する. |
第5回 | 以下の内容に関する問題演習: 実射影空間、実射影平面上の曲線 | 講義中に指示する |
第6回 | 以下の内容に関する問題演習: 複素射影空間、接ベクトルの定義 | 講義中に指示する |
第7回 | 以下の内容に関する問題演習: 接空間の定義、接空間がベクトル空間になること | 講義中に指示する |
第8回 | 理解度確認 | 講義中に指示する |
第9回 | 以下の内容に関する問題演習: 写像の微分、正則点、臨界点 | 講義中に指示する |
第10回 | 以下の内容に関する問題演習: 逆関数定理、正則値の逆像、サードの定理 | 講義中に指示する |
第11回 | 以下の内容に関する問題演習: はめ込み、埋め込み | 講義中に指示する |
第12回 | 以下の内容に関する問題演習: 部分多様体と埋め込みとの関係 | 講義中に指示する |
第13回 | 以下の内容に関する問題演習: ホイットニーの埋め込み定理、1の分割 | 講義中に指示する |
第14回 | 以下の内容に関する問題演習: ベクトル場、括弧積, 積分曲線 | 講義中に指示する |
第15回 | 以下の内容に関する問題演習: 1助変数変換群 | 講義中に指示する |
学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
使用しない
「多様体の基礎」松本幸夫著 東京大学出版会 (1998年)
「多様体入門」松島与三著 裳華房 (1965年)
「多様体」服部晶夫著 岩波書店 (1989年)
期末試験、演習問題の解答状況により評価する。詳細は講義中に指示する。
集合と位相第二、解析概論第一を履修済みであることが望ましい。
「幾何学第一」(ZUA.B301)を同時に履修することが強く推奨される。(未履修の場合)