本講義の主要なテーマは(可換)環と環上の加群に関する基本的な諸概念と性質である。本講義では,最初に(可換)環とそのイデアルおよび剰 余環についての基本的な事項について復習した後,環上の加群について,部分加群・剰余加群,線型写像・準同型定理,直和・直積,完全列, Hom加群,自由加群などを含む基礎事項について網羅的に履修する。その後,加群のテンソル積を導入し,その右完全性や関連する概念(平坦性 など)について基礎的な事項を履修する。最後に環および加群の局所化について履修する。後半ではネーター環とアルティン環について基礎事項,局所環に続いて,ホモロジー代数について履修する。各回で講義内容に関する問題演習を行う。
環とそのイデアルおよび環上の加群の概念,代数学において最も基本的な概念の一つであり,適用範囲の非常に広いものである。一方で,これら は抽象的な概念でもあり,多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では(可換)環の典型例である有理整数環・多項式環など理 論に表れる典型的な具体例を通じて,これらの抽象概念に慣れていくことも目標の一つである。
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアルおよび感情の加群の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・テンソル積を理解し、正しく使う事ができる。
・局所化の概念を理解し、正しく使う事ができる。
・ネーター環とアルティン環について理解し,正しく使う事ができる。
・局所環について理解し,正しく使う事ができる。
・ホモロジー代数について理解し,正しく使う事ができる。
環,イデアル,剰余環,加群,テンソル積,局所化,ネーター環,アルティン環,局所環,ホモロジー代数
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式による講義を行う。
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 可換環とイデアル | 講義中に指示する。 |
第2回 | 環上の加群 (1) | 講義中に指示する。 |
第3回 | 環上の加群 (2) | 講義中に指示する。 |
第4回 | 環上の加群 (3) | 講義中に指示する。 |
第5回 | 加群のテンソル積 (1) | 講義中に指示する。 |
第6回 | 加群のテンソル積 (2) | 講義中に指示する。 |
第7回 | 局所化 | 講義中に指示する。 |
第8回 | ネーター環とアルティン環 (1) | 講義中に指示する。 |
第9回 | ネーター環とアルティン環 (2) | 講義中に指示する。 |
第10回 | 局所環 | 講義中に指示する。 |
第11回 | ホモロジー代数 (1) | 講義中に指示する。 |
第12回 | ホモロジー代数 (2) | 講義中に指示する。 |
第13回 | ホモロジー代数 (3) | 講義中に指示する。 |
第14回 | 進んだ内容 | 講義中に指示する。 |
学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
講義中に指示する。
講義中に指示する。
講義中に指示する。
線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一・第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四を履修していること、またはそれと同等の知識があること。
代数学演習B第一 (ZUA.A302) を同時に履修することが強く推奨される(未履修の場合)。
特になし。