Riemannゼータ関数やDirichlet L関数の非正整数における値の計算は,Euler以来の古典的なテーマである.新谷卓郎は錐分割という卓抜なアイディアによって,これを一般の総実代数体に拡張する結果を得た.最近,坂内健一氏・萩原啓氏・山田一紀氏らとの共同研究において,新谷の結果を「代数トーラス族の同変層係数コホモロジー」という枠組みで再解釈し,より自然な理解を与えることに成功したので,それらのことについて解説する.また同様の枠組みを使って,p進L関数の正整数における値をp進ポリログで表す公式(有理数体におけるColemanの定理の拡張)についても述べたい.
講義の中心となるテーマは「新谷生成類」というある種のコホモロジー類を具体的に構成することである.古典的な有理数体の場合,新谷生成類はt/(1-t)という有理関数に他ならない.このように,関数の自然な一般化としてコホモロジー類を考えることは,今回のケースに限らず,古典的な定理・公式の拡張を考える際に有用となる可能性がある.この講義を通じてその視点を獲得し,コホモロジーを扱う方法の実例とともに学んでほしい.
・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値が,一つの生成関数で記述される仕組みを理解すること
・総実代数体のゼータ関数に対する新谷の仕事の概要を理解すること
・総実代数体に付随する代数トーラス族,および同変コホモロジーのCech複体による記述を知ること
・新谷生成類の構成,およびその等分点における特殊化の計算法を理解すること
・総実代数体のp進ポリログの構成,およびp進L関数の値との関係を知ること
総実代数体,Lerchゼータ関数,Hecke L関数,新谷生成類,p進L関数,p進ポリログ
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 以下の内容を解説する予定である. ・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値に関する古典的結果 ・総実代数体のゼータ関数の特殊値に関する新谷の仕事 ・代数トーラス族およびその同変コホモロジーの記述 ・新谷生成類の構成 ・新谷生成類の等分点への特殊化の計算 ・p進L関数とp進ポリログの構成およびそれらの関係 | 講義中に指示する. |
使用しない
Bannai et al.: Canonical equivariant cohomology classes generating zeta values of totally real fields, arXiv:1911.02650
Bannai et al.: p-adic polylogarithms and p-adic Hecke L-functions for totally real fields, arXiv:2003.08157
レポート課題(100%)による.
特になし