国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

この講義，複素解析では，1変数複素数値関数について解説する．これは発展を続ける現代数学に不可欠なものである．本科目は演習科目「解析学演習B第一」とセットで履修することが強く推奨される．

この講義の最初では，コーシーリーマンの方程式について解説する．これは実1変数の微分の概念を複素数関数に拡張する際にキーとなるものである．複素関数で微分可能なものは正則または解析的と言われる．さらにこの講義では，解析性の幾つかの同値条件についても論じる．解析関数についてのこれらの同値条件の理論はコーシー理論として知られているものである．次に，有理型関数とその孤立特異点について解説する．また，等角写像と平面領域における等角写像の例について解説する．さらに留数を導入し，それを用いて定積分の計算が可能になることを講義する．

到達目標

本講義を履修することによって以下のことが取得される．
1）複素微分とコーシー・リーマン方程式の理解．
2）コーシーの積分定理とその応用の理解．
3）最大値原理とシュワルツの補題の理解．
4）有理型関数とその特異点の理解．
5）孤立特異点の分類．
6）留数定理を応用して定積分の計算が可能になる．

キーワード

正則関数，コーシー・リーマンの方程式，収束半径，コーシーの積分定理, 有理型関数，孤立特異点，留数定理，等角写像．

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

通常の講義形式による講義である．

授業計画・課題

授業時間外学修（予習・復習等）

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

入門複素関数, 川平友規，裳華房

参考書、講義資料等

講義時に指定する。

成績評価の基準及び方法

期末試験による。詳細は授業中に述べる。

関連する科目

• MTH.C302 ： 複素解析第二
• MTH.C301 ： 複素解析第一
• ZUA.C302 ： 解析学演習Ｂ第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

解析概論第一及び第二を履修していることが望ましい．解析学演習Ｂ第一もあわせて履修することが望ましい．