2016年度 数学特殊講義C   Special courses on advanced topics in Mathematics C

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開講元
数学科
担当教員名
芥川 和雄(芥川 一雄)  高桑 昇一郎 
授業形態
講義
メディア利用
 
曜日・時限(講義室)
集中講義等   
クラス
-
科目コード
ZUA.E333
単位数
2
開講年度
2016年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
2016年4月27日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

この講義では幾何解析において代表的な2つの話題を取り上げる.ひとつは調和写像でありもうひとつは Ricci flow である.調和写像は調和関数,測地線,極小曲面の一般化であり,幾何解析において最初に発展した.Ricci flow は多様体において標準的な Riemann 計量を求めるために Richard Hamilton によって1982年に導入されたRiemannian 計量に対する非線形偏微分方程式である.両方の話題について基本的な結果を解説する.
この2つの話題を通して幾何解析においては問題を解くために解析的な方法と幾何的な方法が統一的に用いられていることを理解する.

到達目標

・偏微分方程式の基本的な手法を扱えるようになること.
・調和写像や Ricci flow の解の基本的な例の多くを扱えるようになること.
・調和写像とその heat flow に関する基礎理論を理解すること.
・Ricci flow の基礎理論を理解すること.

キーワード

Riemann 多様体,曲率テンソル,測地線,エネルギー汎関数,調和写像,熱方程式,Einstein-Hilbert 汎関数,Ricci flow,Ricci ソリトン

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 Riemann 幾何の基礎知識 講義中に指示する
第2回 曲線の長さと測地線 講義中に指示する
第3回 測地線の存在定理 講義中に指示する
第4回 曲線のエネルギーの第1変分公式 講義中に指示する
第5回 曲線のエネルギーの第2変分公式 講義中に指示する
第6回 測地線の幾何学への応用 講義中に指示する
第7回 調和写像の定義と例 講義中に指示する
第8回 調和写像の存在定理 講義中に指示する
第9回 調和写像の幾何学への応用 講義中に指示する
第10回 Hamilton の Ricci flow の概要(定義,背景,歴史) 講義中に指示する
第11回 Ricci flow のいろいろな解 講義中に指示する
第12回 Ricci flow の短時間解の存在と一意性 講義中に指示する
第13回 曲率テンソルに対する発展方程式 講義中に指示する
第14回 Ricci flow の収束 講義中に指示する
第15回 Ricci flow の幾何学への応用 講義中に指示する

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

・J.ヨスト,ポストモダン解析学,シュプリンガー・ジャパン,2012
・西川青季,幾何学的変分問題,岩波書店,1996
・B.Andrews-C.Hopper, The Ricci flow in Riemannian Geometry, Lect. Notes in Math. Vol. 2011, Springer, 2011

成績評価の基準及び方法

レポート課題(100%)による.

関連する科目

  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二
  • MTH.B331 : 幾何学続論 

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

多様体論,多変数関数の微分積分,関数解析

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