本講義の主要なテーマは、環上の加群の概念とその諸性質、特に、ネーター加群の諸性質である。本講義では、先ず、環上の加群の理論における基本的な概念を解説した後で、ネーター加群の諸性質を説明する。次に、環上の加群の直既約分解の一意性に関するクルル・レマク・シュミットの定理を説明する。さらに、環上の加群の典型例として、有限群の表現論の入門的事項を解説する。本講義は、引き続き行われる 「代数学特別講義 D」 に続くものである。
環上の加群の理論は、線形代数学で学ぶベクトル空間と線形写像の理論をより一般の場合にまで拡張・発展させたものである。そして、この概念は代数学における基本的概念であり、代数学のみならず数学全般に亘り適用範囲の広いものである。本講義の目的は、この概念に慣れ親しみ、その基本的な諸性質を良く理解して、正し使えるようになる事である。
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・環上の加群とその諸性質を理解する。
・ネーター加群の基本的性質を理解する。
・クルル・レマク・シュミットの定理が正しく使える。
・有限群の表現論の入門的事項を理解する。
環上の加群、ネーター加群、クルル・レマク・シュミットの定理、群の表現、完全可約性。
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式による講義を行う。
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 環上の加群の定義 | 講義中に指示する。 |
第2回 | 部分加群と準同型写像 | 講義中に指示する。 |
第3回 | 直和と自由加群 | 講義中に指示する。 |
第4回 | 環上の加群の組成列 | 講義中に指示する。 |
第5回 | ネーター加群の基礎事項 | 講義中に指示する。 |
第6回 | クルル・レマク・シュミットの定理 | 講義中に指示する。 |
第7回 | 群の表現 | 講義中に指示する。 |
第8回 | 群の表現の完全可約性 | 講義中に指示する。 |
「代数学 II 環上の加群」 桂利行 東大出版
特になし。
講義中に提示する演習問題の解答をレポートとして提出してもらい、その解答状況による。
特になし。