2016年度 集合と位相第二   Set and Topology II

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開講元
数学科
担当教員名
本多 宣博 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
火3-4(H103)  
クラス
-
科目コード
ZUA.B203
単位数
2
開講年度
2016年度
開講クォーター
3-4Q
シラバス更新日
2016年1月11日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは位相空間論と距離空間論である。まず集合上の位相を、開集合系、閉集合系、近傍系を使って定義し、位相空間の写像の連続性を学ぶ。次に距離位相、相対位相、商位相、直積位相などの標準的な位相を解説する。次にハウスドルフ性などのいわゆる分離公理を学ぶ。後半では、位相空間のコンパクト性、連結性、弧状連結性など、より幾何学的性質を解説する。コンパクト性は、一種の有限性を意味するものであり、その上の任意の連続関数が最大値と最小値をもつという著しい性質を持つ。連結性・弧状連結性は、空間がひとつながりになっているかを表すものであり、やはり基本的な概念である。これらの概念を、基本的な重要性を持つ例とともに解説する。また、距離空間の完備性や有界性についても解説する。本講義は、同時期に開講される「幾何学演習A」と同時に受講することが強く望まれる。
 位相の概念は写像の連続性を記述するために必要な概念であり、幾何学はもちろんのこと、代数学および解析学でも頻繁に現れ、いずれの数学を学ぶ上でも必須の概念である。位相空間のコンパクト性と連結性は、空間の最も基本的な幾何学的性質であり、今後幾何学を学ぶ上で基礎となる概念である。距離空間の完備性や有界性は、特に解析学を学ぶ際に重要になる。

到達目標

・位相のさまざまな記述方法を理解すること
・位相と写像の連続性の関係を理解すること
・さまざまな設定の下で自然に定まる位相について理解すること
・分離公理を満たさない空間の基本的な例を理解すること
・連結な空間と非連結な空間を、多くの具体例とともに理解すること
・コンパクトな空間と非コンパクトな空間を、多くの具体例とともに理解すること
・コンパクト空間の持つ特別な性質を証明できるようになること
・完備距離空間の多くの性質を理解すること

キーワード

位相と位相空間、近傍系、第一可算公理、第二可算公理、連続写像、誘導位相、分離公理、コンパクト空間、連結空間、弧状連結性、完備距離空間

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
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授業の進め方

通常の講義形式

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 位相と位相空間 講義中に指示する
第2回 開集合系の基と近傍系、第二可算公理
第3回 基本近傍系、第一可算公理
第4回 連続写像、同相写像
第5回 相対位相、直積位相
第6回 商位相、写像による誘導位相
第7回 ハウスドルフ空間、正則空間
第8回 理解度確認
第9回 分離公理と連続関数
第10回 位相空間の連結性
第11回 位相空間の弧状連結性
第12回 位相空間のコンパクト性
第13回 コンパクト位相空間の性質
第14回 距離空間の完備性
第15回 距離空間の位相的性質

教科書

「集合と位相空間」森田茂之著 朝倉書店 (2002年)

参考書、講義資料等

「集合と位相」内田伏一著 裳華房 (1986年)
「集合・位相入門」松坂和夫著 岩波書店 (1968年)

成績評価の基準及び方法

中間試験(およそ50%) および期末試験(およそ50%)

関連する科目

  • ZUA.B204 : 幾何学演習A
  • MTH.B203 : 位相空間論第三
  • MTH.B204 : 位相空間論第四

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。
幾何学演習Aを同時に履修することが強く推奨される(未履修の場合)。

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