- 開講元
- 数学系
- 授業形態
- 講義 / 演習
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 木3-6(H103)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.A301
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2021年度
- 開講クォーター
- 1Q
- シラバス更新日
- 2021年3月19日
- 講義資料更新日
- 2021年5月27日
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の主要なテーマは、(可換) 環とそのイデアルに関する基本的な諸概念と性質である。本講義では、先ず、(可換) 環とその種々のイデアル (単項イデアル、素イデアル、極大イデアル等の)、そしてこれらによる剰余環の基本的な性質を学ぶ。次に、環の間の準同型写像の概念、そして準同型定理・中国剰余定理を学ぶ。最後に、ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質、そして一意分解環における素元と既約元の概念等を学ぶ。各回で、講義内容に関する問題演習を行う。本講義は、引き続いて行われる 「代数学第二」 に続くものである。
環とそのイデアル、そして剰余環は、代数学において最も基本的な概念であり、適用範囲の非常に広いものである。一方で、これらは抽象的な概念であり、多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では、(可換) 環の典型例である有理整数環・多項式環を通してこの様な抽象的概念に親しむことで、概念の定着を図る。
到達目標
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアル、単項イデアル、素イデアル、極大イデアル、剰余環の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・準同型定理と中国剰余定理を理解し、正しく使う事ができる。
・ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質を説明する事ができる。
・一意分解環における素元と既約元の概念を理解し、正しく使う事ができる、
キーワード
環、イデアル、単項イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、単項イデアル整域
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式による講義と、問題演習形式の講義を交互に行う。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 可逆元・零因子・べき零元と、整域 | 講義中に指示する。 |
| 第2回 | 第 1 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第3回 | イデアルと単項イデアル | 講義中に指示する。 |
| 第4回 | 第 3 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第5回 | 素イデアル・極大イデアルと剰余環 | 講義中に指示する。 |
| 第6回 | 第 5 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第7回 | 準同型定理および中国剰余定理 | 講義中に指示する。 |
| 第8回 | 第 7 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第9回 | ユークリッド整域 | 講義中に指示する。 |
| 第10回 | 第 9 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第11回 | 単項イデアル整域 | 講義中に指示する。 |
| 第12回 | 第 11 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
| 第13回 | 一意分解環、素元と既約元 | 講義中に指示する。 |
| 第14回 | 第 13 回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する。 |
授業時間外学修（予習・復習等）
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
講義中に指示する。
参考書、講義資料等
講義中に指示する。
成績評価の基準及び方法
講義中に指示する。
関連する科目
- MTH.A201 ： 代数学概論第一
- MTH.A202 ： 代数学概論第二
- MTH.A203 ： 代数学概論第三
- MTH.A204 ： 代数学概論第四
- MTH.A302 ： 代数学第二
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一、線形空間論第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四を履修済みであること、またはそれと同等の知識があること。
その他
特になし。
