2019年度 位相空間論第二   Introduction to Topology II

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開講元
数学系
担当教員名
KALMAN TAMAS  橋本 義規 
授業形態
講義 / 演習
曜日・時限(講義室)
火3-8(H103)  
クラス
-
科目コード
MTH.B202
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは順序集合とユークリッド空間および距離空間である。順序集合に関する基本的事項を解説した後、整列集合、帰納的順序集合およびこれらの応用について学ぶ。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。隔回で講義内容に関する演習問題を行う。本講義は、1Qに開講される「位相空間論第一」に続くものである。
 集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ特別な性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

キーワード

順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - - -

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 順序関係、全順序、整列集合、整列集合に関する基本性質 講義中に指示する
第2回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第3回 帰納的順序集合、ツォルンの補題 講義中に指示する
第4回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第5回 整列可能定理、整列可能定理と選択公理の同値性 講義中に指示する
第6回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第7回 順序数、濃度の比較定理 講義中に指示する
第8回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第9回 ツォルンの補題の応用例 講義中に指示する
第10回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第11回 ユークリッド空間、距離空間、開集合と閉集合 講義中に指示する
第12回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第13回 距離空間における基本的概念 講義中に指示する
第14回 前回の講義内容に関する問題演習 講義中に指示する
第15回 理解度確認 講義中に指示する

教科書

「集合と位相」内田伏一著 裳華房 (1986年)

参考書、講義資料等

「集合と位相」斎藤毅著 東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」松坂和夫著 岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」森田茂之著 朝倉書店 (2002年)

成績評価の基準及び方法

期末試験(およそ70%) および問題演習における解答状況(およそ30%)

関連する科目

  • MTH.B201 : 位相空間論第一
  • MTH.B203 : 位相空間論第三
  • MTH.B204 : 位相空間論第四

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

位相空間論第一を履修済みであること。
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。

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