国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは順序集合とユークリッド空間および距離空間である。順序集合に関する基本的事項を解説した後、整列集合、帰納的順序集合およびこれらの応用について学ぶ。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。隔回で講義内容に関する演習問題を行う。本講義は、1Qに開講される「位相空間論第一」に続くものである。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

到達目標

・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ特別な性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

キーワード

順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

教科書

「集合と位相」内田伏一著　裳華房 (1986年)

参考書、講義資料等

「集合と位相」斎藤毅著　東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」松坂和夫著　岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」森田茂之著　朝倉書店 (2002年)

成績評価の基準及び方法

期末試験(およそ70%) および問題演習における解答状況(およそ30%)

関連する科目

• MTH.B201 ： 位相空間論第一
• MTH.B203 ： 位相空間論第三
• MTH.B204 ： 位相空間論第四

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

位相空間論第一を履修済みであること。
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。