2020年度 数学最先端特別講義I   Special lectures on current topics in Mathematics I

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開講元
数学コース
担当教員名
中島 啓  五味 清紀 
授業形態
講義
メディア利用
Zoom
曜日・時限(講義室)
集中講義等   
クラス
-
科目コード
MTH.E639
単位数
2
開講年度
2020年度
開講クォーター
2Q
シラバス更新日
2020年9月18日
講義資料更新日
-
使用言語
英語
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講義の概要とねらい

 同変ホモロジーの上に定義される合成積代数の例として、超対称性ゲージ理論において真空のクーロン枝と呼ばれている空間の、数学的に厳密な定義を与える。同変ホモロジーを考える空間は、アファイン・グラスマン多様体とよばれる無限次元の旗多様体の変種であり、2次元の小さな円板の上の上の主束と付随したベクトル束の切断のモジュライ空間に他ならない。また、この構成は位相的場の理論の枠組みの中で自然に、説明される。
 幾何学的表現論において、同変ホモロジーの上に定義される合成積代数を用いて代数とその表現を構成する手法がよくつかわれる。この手法を例で学ぶのが第一のねらいである。また、このような構成で使われるのは、通常は旗多様体やその余接束、また箙多様体などの通常の多様体であるが、アファイン・グラスマン多様体のような無限次元の多様体にも適用できることが、次第に解明されている。また理論物理学における場の理論と関連させるためにも、無限次元の空間を取り扱うことは自然である。無限次元の空間の例としてモジュライ空間を知ることが、第二のねらいである。

到達目標

・同変ホモロジーの定義、基本的な性質を身に着ける。
・合成積代数の定義、およびその性質の導出を理解する。
・クーロン枝の数学的な定義を理解する。
・位相的場の理論の基礎と、真空について理解する。

キーワード

同変ホモロジー、合成積代数、アファイン・グラスマン多様体、ゲージ理論のクーロン枝

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 以下の内容を順に解説する予定である. ・同変ホモロジーの定義、基本的な性質 ・合成積代数の定義、基本的な性質 ・アファイン・グラスマン多様体、とその変種の「三つ組の多様体」の定義、基本的な性質 ・クーロン枝の定義 ・クーロン枝の基本的な性質と、例 ・位相的場の理論の概説 ・モジュライ空間と真空 講義中に指示する

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of 3-dimensional N=4 gauge theories, arXiv:1612.09014,1706.05154.

成績評価の基準及び方法

レポート課題(100%)による.

関連する科目

  • MTH.B341 : 位相幾何学
  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二
  • MTH.B331 : 幾何学続論
  • ZUA.A331 : 代数学特別講義A

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

ホモロジーや代数に関する基礎的な知識

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