2019年度 幾何学特論G1   Advanced topics in Geometry G1

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開講元
数学コース
担当教員名
KALMAN TAMAS 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
金5-6(H117)  
クラス
-
科目コード
MTH.B507
単位数
1
開講年度
2019年度
開講クォーター
3Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
英語
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講義の概要とねらい

本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。Floer ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では Heegaard Floer homology とその応用を学ぶ。

到達目標

この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。

キーワード

結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - - -

授業の進め方

通常の講義

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 定義と性質の確認
第2回 Alexander 多項式(無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列)、Seifert の定理 定義と性質の確認
第3回 Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 定義と性質の確認
第4回 Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams 定義と性質の確認
第5回 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 定義と性質の確認
第6回 d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 定義と性質の確認
第7回 Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 定義と性質の確認
第8回 勾配流、横断性、モジュライ空間とその向き 定義と性質の確認

教科書

特になし

参考書、講義資料等

講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)

成績評価の基準及び方法

レポート課題(100%).

関連する科目

  • MTH.B202 : 位相空間論第二
  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

代数トポロジー(ホモロジー、コホモロジー、基本群等)を仮定する。基本的な複素解析を知っていることが望ましい。

その他

予備知識を気にせず、わからないことは率直に聞いてください。

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