- 開講元
- 数学コース
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 集中講義等
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.E643
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2021年度
- 開講クォーター
- 2Q
- シラバス更新日
- 2021年3月19日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
Riemannゼータ関数やDirichlet L関数の非正整数における値の計算は，Euler以来の古典的なテーマである．新谷卓郎は錐分割という卓抜なアイディアによって，これを一般の総実代数体に拡張する結果を得た．最近，坂内健一氏・萩原啓氏・山田一紀氏らとの共同研究において，新谷の結果を「代数トーラス族の同変層係数コホモロジー」という枠組みで再解釈し，より自然な理解を与えることに成功したので，それらのことについて解説する．また同様の枠組みを使って，p進L関数の正整数における値をp進ポリログで表す公式（有理数体におけるColemanの定理の拡張）についても述べたい．
講義の中心となるテーマは「新谷生成類」というある種のコホモロジー類を具体的に構成することである．古典的な有理数体の場合，新谷生成類はt/(1-t)という有理関数に他ならない．このように，関数の自然な一般化としてコホモロジー類を考えることは，今回のケースに限らず，古典的な定理・公式の拡張を考える際に有用となる可能性がある．この講義を通じてその視点を獲得し，コホモロジーを扱う方法の実例とともに学んでほしい．
到達目標
・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値が，一つの生成関数で記述される仕組みを理解すること
・総実代数体のゼータ関数に対する新谷の仕事の概要を理解すること
・総実代数体に付随する代数トーラス族，および同変コホモロジーのCech複体による記述を知ること
・新谷生成類の構成，およびその等分点における特殊化の計算法を理解すること
・総実代数体のp進ポリログの構成，およびp進L関数の値との関係を知ること
キーワード
総実代数体，Lerchゼータ関数，Hecke L関数，新谷生成類，p進L関数，p進ポリログ
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 以下の内容を解説する予定である． ・有理数体のLerchゼータ関数の特殊値に関する古典的結果 ・総実代数体のゼータ関数の特殊値に関する新谷の仕事 ・代数トーラス族およびその同変コホモロジーの記述 ・新谷生成類の構成 ・新谷生成類の等分点への特殊化の計算 ・p進L関数とp進ポリログの構成およびそれらの関係 | 講義中に指示する． |
教科書
使用しない
参考書、講義資料等
Bannai et al.: Canonical equivariant cohomology classes generating zeta values of totally real fields, arXiv:1911.02650
Bannai et al.: p-adic polylogarithms and p-adic Hecke L-functions for totally real fields, arXiv:2003.08157
成績評価の基準及び方法
レポート課題(100%)による．
関連する科目
- MTH.A301 ： 代数学第一
- LAS.M106 ： 線形代数学第二
- MTH.A331 ： 代数学続論
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
特になし
