H28年度 数学最先端特別講義V   Special lectures on current topics in Mathematics V

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開講元
数学コース
担当教員名
利根川 吉廣  前川 泰則 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
集中講義等 (H201)  
クラス
-
科目コード
MTH.E653
単位数
2
開講年度
H28年度
開講クォーター
3Q
シラバス更新日
H28年12月14日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは,流体力学の基礎方程式として知られるNavier-Stokes方程式の定常解の安定性解析である.Navier-Stokes方程式は19世紀中頃に非圧縮性粘性流体の運動を記述する方程式として提唱された非線形偏微分方程式系であり,非線形系であることと非局所性からその厳密な解析は難しい場合が多く,今なお未解決の問題が多く残されている.本講義では,非有界領域におけるNavier-Stokes方程式のあるクラスの定常解の存在と安定性について近年の進展を含めて解説する.
 Navier-Stokes方程式を題材に,非線形偏微分方程式の解の存在や安定性に対する一つの典型的な解析手法について学ぶことを目的とする.また,線形性と非線形性の釣り合うスケール臨界性に着目しつつ,流体力学的な直観と数学的な構造がどのように対応するのかについても理解できるよう配慮し,実解析や関数解析がどのように役立っているか学ぶ.

到達目標

・Navier-Stokes方程式の定常解の存在と安定性について,線形化作用素の解析に基づいた標準的な議論を理解すること.
・Navier-Stokes方程式のスケール不変性と解の挙動の関係について理解すること.
・回転物体周りの流れの数学的構造について理解すること.
・軸対称旋回流の持つ特徴的な数学的性質について理解すること. 

キーワード

Navier-Stokes方程式,渦度場,線形作用素のスペクトルとレゾルベント,定常解の存在と安定性,スケール不変性と解の漸近挙動,軸対称旋回流

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
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授業の進め方

通常の講義形式で行う.また,適宜レポート課題を出す.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 Navier-Stokes方程式に関する用語の定義等について 講義中に指示する.
第2回 様々な厳密定常解(1) 講義中に指示する.
第3回 様々な厳密定常解(2) 講義中に指示する.
第4回 2次元回転物体の周りを流れる時間周期的Navier-Stokes流の存在(1) 講義中に指示する.
第5回 2次元回転物体の周りを流れる時間周期的Navier-Stokes流の存在(2) 講義中に指示する.
第6回 2次元回転物体の周りを流れる時間周期的Navier-Stokes流の存在(3) 講義中に指示する.
第7回 2次元単位円の外部領域における厳密定常解の安定性(1) 講義中に指示する.
第8回 2次元単位円の外部領域における厳密定常解の安定性(2) 講義中に指示する.
第9回 2次元単位円の外部領域における厳密定常解の安定性(3) 講義中に指示する.
第10回 2次元外部領域におけるスケール臨界流の安定性(1) 講義中に指示する.
第11回 2次元外部領域におけるスケール臨界流の安定性(2) 講義中に指示する.
第12回 Burgers渦の安定性:導入 講義中に指示する.
第13回 Burgers渦の2次元安定性 講義中に指示する.
第14回 Burgers渦の3次元安定性(1) 講義中に指示する.
第15回 Burgers渦の3次元安定性(2) 講義中に指示する.

教科書

使用しない

参考書、講義資料等

「ナヴィエ-ストークス方程式の数理」 岡本久 著 (東京大学出版, 2009年); 「Nonlinear partial differential equations. Asymptotic behavior of solutions and self-similar solutions. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 79」 M.-H. Giga, Y. Giga, and J. Saal (Birkh{\"a}user, Boston, 2010)

成績評価の基準及び方法

レポート課題(100%)による.

関連する科目

  • ZUS.F301 : 関数解析学

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

特になし

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