- 開講元
- 数学コース
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 集中講義等 (H201)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.E636
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2016年度
- 開講クォーター
- 4Q
- シラバス更新日
- 2016年4月27日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の概要は，Klein群とその変形についての基本的な理論の解説である．特に重要な概念は以下の通りである：
Klein群，擬等角写像，タイヒミュラー空間．Klein群の変形をRiemann面の擬等角変形として捉えることで，Riemann面の変形空間であるタイヒミュラー空間との関係を見ることができる．これらの理解のために，まず今後扱う双曲型Riemann面と双曲幾何について学習する．さらにこの被覆変換群となるFuchs群と，この一般化となるKlein群の性質とRiemann面との関係を見る．次にRiemann面の変形を与える擬等角写像の定義をし，Fuchs群と合わせてタイヒミュラー空間の記述を行う．最後にタイヒミュラー空間の複素構造や，Klein群を利用しての境界表現，その他タイヒミュラー空間論の応用を与える．
本講義のねらいは，Klein群の変形に関する基礎概念と基礎理論の習得である．講義の中に登場する双曲型Riemann面やKlein群の不連続領域は，複素解析学の諸分野の中でも，双曲幾何学，複素力学系など分野に関連する．また，Klein群の変形理論と密接な関係を持つものがタイヒミュラー空間論という重要な研究分野であり，互いに多くの応用が知られている．本講義は，理論の理解の他に，テーマとしてこれら低次元の複素多様体をベースとした研究に対する見解を広めてもらうことを考えている．
到達目標
・ほとんどのRiemann面に双曲計量を導入できることと，対応する各Fuchs群の性質を理解できること．
・Klein群の定義を知り，その不連続領域とRiemann面との関係を理解できること．
・擬等角写像の二種類の定義を理解し，Riemann面の変形を表すことを理解すること．
・Klein群の変形空間とタイヒミュラー空間の関係とこれらの応用を知ること．
キーワード
双曲幾何，Riemann面，Fuchs群，Klein群，擬等角写像，タイヒミュラー空間．
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 一次分数変換 | 講義中に指示する |
| 第2回 | 双曲幾何学 | 講義中に指示する |
| 第3回 | 被覆の理論 | 講義中に指示する |
| 第4回 | 普遍被覆面と一意化定理 | 講義中に指示する |
| 第5回 | 双曲型Riemann面とFuchs群 | 講義中に指示する |
| 第6回 | Fuch群の性質(基本領域，双曲計量) | 講義中に指示する |
| 第7回 | Fuch群の性質(清水の補題，traceと双曲的長さ) | 講義中に指示する |
| 第8回 | Klein群の定義と性質 | 講義中に指示する |
| 第9回 | Klein群の極限集合と不連続領域 | 講義中に指示する |
| 第10回 | 擬等角写像(幾何学的定義) | 講義中に指示する |
| 第11回 | 擬等角写像(解析的定義とベルトラミ方程式) | 講義中に指示する |
| 第12回 | Klein群の変形空間 | 講義中に指示する |
| 第13回 | タイヒミュラー空間の表現 | 講義中に指示する |
| 第14回 | タイヒミュラー空間とKlein群 | 講義中に指示する |
| 第15回 | タイヒミュラー空間論の応用 | 講義中に指示する |
教科書
使用しない
参考書、講義資料等
今吉洋一，谷口雅彦：タイヒミュラー空間論（日本評論社）
成績評価の基準及び方法
レポート課題(100%)による．
関連する科目
- MTH.C302 ： 複素解析第二
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
MTH.C302 ： 複素解析第二 を履修していることが望ましい．
