- 開講元
- 数学コース
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 集中講義等 (H201)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.E631
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2016年度
- 開講クォーター
- 2Q
- シラバス更新日
- 2016年12月14日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
表現論は、対称性を研究する数学の一分野である。
この講義では、そのうちで、群の (通常) 線形表現を扱い、特に対称群の表現論を
以下の 3 つの視点から説明する。
・群や環の表現論の一般論
・対称関数の理論
・組合せ論
対称群の表現論という具体例を通じて、以下の 3 つを理解
する事が、この講義のねらいである。
・表現論の一般論についての理解を深める。
・数学においては、一見異なる分野 (ここでは、対称群の表現論と組合せ論)
が実は密接に関係している事を見る。
・代数的組合せ論の初歩的な材料に親しみ、対称群の表現論に付随する
種々の量が実際に計算できるようになる。
到達目標
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・対称群の (通常) 既約表現が分割によってパラメトライズ
される事を理解する。
・対称群の既約表現の具体的・抽象的構成法を理解する。
・ヤング図形と、それに関する組合せ論的アルゴリズムを使う事ができる。
・対称関数とシューア関数に慣れ親しむ。
・リトルウッド・リチャードソン規則やコストカ数などの代数的組合せ論的対象に
親しみ、計算ができるようになる。
・対称群の表現論が、対称関数環の性質と密接に関係している事を理解する。
キーワード
対称群、表現論、指標、対称関数、リトルウッド・リチャードソン規則、コストカ数、
ロビンソン・シェーンステッド・クヌース対応、ヤング図形、半標準盤、
シュペヒト加群、鉤長公式、フロベニウス指標公式、マシュケの定理、プラクティック・モノイド、圏論化
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式による講義を行う。
また、適宜レポートを課す。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 群の線形表現の定義と群環 | 講義中に指示する。 |
| 第2回 | 通常指標と直交性 | 講義中に指示する。 |
| 第3回 | マシュケの定理とウェッダーバーンの定理 | 講義中に指示する。 |
| 第4回 | 誘導表現とフロベニウス相互律 | 講義中に指示する。 |
| 第5回 | ヤング図形入門 | 講義中に指示する。 |
| 第6回 | ヤング対称子による対称群の既約表現の構成 | 講義中に指示する。 |
| 第7回 | ヤング加群とシュペヒト加群 | 講義中に指示する。 |
| 第8回 | 15 ゲームとプラクティック・モノイド | 講義中に指示する。 |
| 第9回 | ロビンソン・シェーンステッド・クヌース対応と鉤長公式 | 講義中に指示する。 |
| 第10回 | ロビンソン・シェーンステッド・クヌース対応にまつわる対称性 | 講義中に指示する。 |
| 第11回 | リトルウッド・リチャードソン規則とコストカ数 | 講義中に指示する。 |
| 第12回 | 無限変数対称関数環とシューア関数 | 講義中に指示する。 |
| 第13回 | フロベニウス指標公式とピエリ公式 | 講義中に指示する。 |
| 第14回 | オクンコフ・ヴェルシックの方法 (その 1): A 型アフィン・ヘッケ環 | 講義中に指示する。 |
| 第15回 | オクンコフ・ヴェルシックの方法 (その 2): 分岐則と柏原クリスタル構造 | 講義中に指示する。 |
教科書
Bruce E. Sagan, The Symmetric Group, GTM 203.
William Fulton. Young Tableaux, London Mathematical Society, Student Texts 35.
参考書、講義資料等
講義資料は、講義中に配布する。
成績評価の基準及び方法
レポート課題の解答状況による。
関連する科目
- MTH.A301 ： 代数学第一
- MTH.A302 ： 代数学第二
- MTH.A403 ： 代数学特論C
- MTH.A404 ： 代数学特論D
- MTH.E431 ： 数学特別講義A
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
履修の条件は特に設けないが、関連する科目を履修している事が望ましい。
