2016年度 数学特別講義D   Special lectures on advanced topics in Mathematics D

文字サイズ 

アップデートお知らせメールへ登録 お気に入り講義リストに追加
開講元
数学コース
担当教員名
KALMAN TAMAS 
授業形態
講義
メディア利用
 
曜日・時限(講義室)
集中講義等 (H213)  
クラス
-
科目コード
MTH.E434
単位数
2
開講年度
2016年度
開講クォーター
3-4Q
シラバス更新日
2016年4月27日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
アクセスランキング
media

講義の概要とねらい

本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。理解の定着のために、講義中に演習問題を提示するので、レポートとして提出すること。
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。

到達目標

本講義の主要なテーマは結び目と三次元多様体に対応する Floer ホモロジー群である。 Floer ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では、低次元トポロジーの基礎、その後 Heegaard Floer homology、さらにその応用を学ぶ。

キーワード

結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

毎週講義で理論を説明する。レポート問題を解いてもらう。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 講義中に指示する
第2回 Alexander 多項式(無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列)、Seifert の定理 講義中に指示する
第3回 Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 講義中に指示する
第4回 Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams 講義中に指示する
第5回 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 講義中に指示する
第6回 d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 講義中に指示する
第7回 Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 講義中に指示する
第8回 勾配流、横断性、モジュライ空間とその向き 講義中に指示する
第9回 コンパクト性 (broken flow lines)、Morse 複体、貼り合わせ 講義中に指示する
第10回 Morse ホモロジーと特異ホモロジーとの同型 講義中に指示する
第11回 シンプレクティック幾何学、ラグランジュ部分多様体、action functional 講義中に指示する
第12回 擬正則曲線、ラグランジュ部分多様体の交叉理論、Maslov 指数 講義中に指示する
第13回 Heegaard 図式、spin^c 構造、閉多様体の Heegaard Floer ホモロジー 講義中に指示する
第14回 d^2=0 や不変性、結び目 Floer ホモロジーの最初の定義 講義中に指示する
第15回 sutured Floer homology、種数およびファイバー性の決定の証明 講義中に指示する

教科書

特になし

参考書、講義資料等

講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)

成績評価の基準及び方法

レポートによって評価する。

関連する科目

  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二
  • MTH.B331 : 幾何学続論
  • MTH.B341 : 位相幾何学
  • MTH.C301 : 複素解析第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

複素解析 (リーマンの写像定理まで) や代数的位相幾何学 (ホモロジー, ホモトピー等), 多様体論 (例えば, ベクトル場の軌道曲線) が役に立ちますが, 好奇心を持つことが一番大事でしょう.

このページのトップへ