本講義では,単体複体の整係数ホモロジー論の一般化としての一般係数のホモロジー論と,ホモロジー論の双対的概念であるコホモロジー論について解説する.まず始めに単体複体の(整係数)ホモロジー群について復習し,その後,単体複体の一般係数のホモロジー論とコホモロジー論,一般係数の特異ホモロジー論とコホモロジー論の定義,ホモロジー論とコホモロジー論の公理系,および応用について述べる.本講義は,引き続き行われる「幾何学特論D」に続くものである.
ホモロジー群とコホモロジー群は現代数学においては幾何学のみならず,代数学や解析学においても基本的な道具である.本講義においてはその考え方や性質の理解をねらいとする.
本講義では次の様な数学の知識と考え方,及び計算力を身につけることを目標とする.
・以下にあげられている「キーワード」に関連する用語の定義を理解する
・ホモロジー論とコホモロジー論の主な発想や視点を把握する
・いくつかの位相空間のホモロジー群やコホモロジー群を計算できる様になる
一般係数のホモロジー群とコホモロジー群,チェイン複体,コチェイン複体,サイクル,境界,ホモトピー,完全系列,切除同型
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
通常の講義形式
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | 単体複体のホモロジー群の復習,と一般係数のホモロジー群とコホモロジー群の定義 | 講義中に指示する |
第2回 | 位相空間の特異ホモロジー群とコホモロジー群の定義及び写像 | 講義中に指示する |
第3回 | 圏と関手,ホモロジー論,コホモロジー論の関手性 | 講義中に指示する |
第4回 | ホモロジー論とコホモロジー論の公理系の概説 | 講義中に指示する |
第5回 | ホモトピー公理,その例 | 講義中に指示する |
第6回 | 完全系列,その例 | 講義中に指示する |
第7回 | 切除公理 | 講義中に指示する |
第8回 | Mayer-Vietoris完全系列 | 講義中に指示する |
特になし
中岡稔著「位相幾何学 ホモロジー論」(共立出版)
その他,「位相幾何学」と名付けられた教科書
レポートや試験等をもとに評価する.詳細は講義中に指示する.
単体複体の(整係数)ホモロジー群の基本事項について理解していることが望ましい.
未定