- 開講元
- 数学系
- 担当教員名
- 小野寺 有紹
- 授業形態
- 講義 / 演習 (対面型)
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 火3-6(H1104)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.C306
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2022年度
- 開講クォーター
- 2Q
- シラバス更新日
- 2022年3月16日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義は，直前に行われる「実解析第二」に続くものである．本講義では，測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する，より発展的な概念と性質を扱う．まず測度の構成や拡張について学ぶ．次に，Lebesgue測度による積分とRiemann積分との関係を明らかにする．その次に，積分により定まる関数空間を導入し，その基本的な性質について学ぶ．最後に，直積空間上の(逐次)積分の測度論的な取り扱いとして，Fubiniの定理について学ぶ．
Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された測度および積分の理論は，長さや面積，体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる．無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は，自然に理論の枠内で取り扱うことができる．本講義を通じて，Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり，それがどのような局面で有効となるのかを伝えたい．
到達目標
・測度の基本的な構成方法の概略を説明できるようになること．
・Lebesgue積分とRiemann積分の違いが説明できるようになること．
・Lebesgue積分の理論を微分積分学の問題に応用できるようになること．
・積分に関する関数不等式や関数空間を用いる考え方に馴染むこと．
・Fubiniの定理を(多)重積分・逐次積分の計算に正しく適用できるようになること．
キーワード
Hopfの拡張定理，外測度，Caratheodory可測性，Riemann積分，H\"olderの不等式，Minkowskiの不等式，Lebesgue空間，直積測度，Fubiniの定理
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う．
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 測度の拡張定理 | 講義中に指示する |
| 第2回 | 第1回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第3回 | 外測度と測度の構成 | 講義中に指示する |
| 第4回 | 第3回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第5回 | Riemann積分とLebesgue積分の関係 | 講義中に指示する |
| 第6回 | 第5回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第7回 | L^p-空間とその完備性，基本的な関数不等式 | 講義中に指示する |
| 第8回 | 第7回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第9回 | 直積測度と累次積分 | 講義中に指示する |
| 第10回 | 第9回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第11回 | Fubiniの定理とその応用 | 講義中に指示する |
| 第12回 | 第11回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
| 第13回 | Fubiniの定理の拡張 | 講義中に指示する |
| 第14回 | 第13回の講義内容に関する問題演習 | 講義中に指示する |
授業時間外学修（予習・復習等）
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
教科書
特になし．
参考書、講義資料等
「Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications」Gerald B. Folland（Wiley）
「ルベーグ積分入門 」伊藤清三著（裳華房）
成績評価の基準及び方法
試験，レポートと演習時の発表．
関連する科目
- MTH.C305 ： 実解析第一
- MTH.C201 ： 解析学概論第一
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
実解析第一を履修済みであること．
解析学概論第一，同第二，位相空間論第一，同第二を履修済みであることが望ましい．
