国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは（可換）環と環上の加群に関する基本的な諸概念と性質である。本講義では，最初に（可換）環とそのイデアルおよび剰余環についての基本的な事項について復習した後，環上の加群について，部分加群・剰余加群，線型写像・準同型定理，直和・直積，完全列，Hom加群，自由加群などを含む基礎事項について網羅的に履修する。その後，加群のテンソル積を導入し，その右完全性や関連する概念（平坦性など）について基礎的な事項を履修する。最後に環および加群の局所化について履修する。各回で講義内容に関する問題演習を行う。本講義は引き続いて行われる「代数学第二」に続くものである。

環とそのイデアルおよび環上の加群の概念，代数学において最も基本的な概念の一つであり，適用範囲の非常に広いものである。一方で，これらは抽象的な概念でもあり，多くの初学者にとって理解が困難なものでもある。本講義では（可換）環の典型例である有理整数環・多項式環など理論に表れる典型的な具体例を通じて，これらの抽象概念に慣れていくことも目標の一つである。

到達目標

本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・ (可換) 環のイデアルおよび感情の加群の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・テンソル積を理解し、正しく使う事ができる。
・局所化の概念を理解し、正しく使う事ができる。

キーワード

環，イデアル，剰余環，加群，テンソル積，局所化

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

通常の講義形式による講義と、問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

授業時間外学修（予習・復習等）

学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

講義中に指示する。

参考書、講義資料等

講義中に指示する。

成績評価の基準及び方法

講義中に指示する。

関連する科目

• MTH.A201 ： 代数学概論第一
• MTH.A202 ： 代数学概論第二
• MTH.A203 ： 代数学概論第三
• MTH.A204 ： 代数学概論第四
• MTH.A302 ： 代数学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数学第一・演習，線形代数学第二，線形代数学演習第二，線形空間論第一，線形空間論第二，代数学概論第一・第二，代数学概論第三・第四を履修済みであること，またはそれと同等の知識があること。

その他

特になし。