2021年度 代数学続論   Algebra III

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開講元
数学系
担当教員名
田口 雄一郎 
授業形態
講義    (対面)
曜日・時限(講義室)
火5-6(H137)  金5-6(H137)  
クラス
-
科目コード
MTH.A331
単位数
2
開講年度
2021年度
開講クォーター
3Q
シラバス更新日
2021年3月19日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

本講義の主要なテーマは体の有限次代数拡大の理論・ガロア理論およびその応用である。ガロア理論は現代数学の基礎へアプローチする際の最も重要な基盤理論の一つであり、同時に大学で学修する代数学の一つの到達点であるとも言える。
本講義ではガロア理論の基本定理を習得し、その応用として代数方程式の可解性を含めた様々なトピックについての理解を深めることを目的とする。

到達目標

体の拡大の基礎理論について、および有限次代数拡大とその剰余環による構成やガロア拡大などについて学ぶ。さらに体の間の準同型やそれらの拡大、体の自己同型および代数閉包の存在などについても学修する。ガロア拡大体の中間体と対応するガロア群の部分群との間の対応(ガロア対応)についての定理、いわゆるガロア理論の基本定理を理解し、その応用として有限体の理論、代数方程式の代数的可解性の問題、さらには作図問題などを理解する。

キーワード

ガロア拡大、ガロアの基本定理、有限体、代数方程式の可解性

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

専門力 教養力 コミュニケーション力 展開力(探究力又は設定力) 展開力(実践力又は解決力)

授業の進め方

通常の講義形式の講義中に演習形式を組み入れる

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 体とその拡大 講義中に指示する
第2回 単純拡大、代数的拡大 講義中に指示する
第3回 代数的閉包とその存在 講義中に指示する
第4回 分離拡大と非分離拡大 講義中に指示する
第5回 体の同型写像とその延長 講義中に指示する
第6回 最小分解体、正規拡大 講義中に指示する
第7回 ガロア拡大とそのガロア群 講義中に指示する
第8回 ガロアの基本定理 講義中に指示する
第9回 ガロア群の様々な計算例 講義中に指示する
第10回 円分体 講義中に指示する
第11回 トレースとノルム、有限体 講義中に指示する
第12回 巡回クンマー拡大 講義中に指示する
第13回 ガロア理論の応用:方程式のべき根による解法 講義中に指示する
第14回 ガロア理論の応用:定規とコンパスによる作図およびその具体例 講義中に指示する

授業時間外学修(予習・復習等)

学修効果を上げるため,教科書や配布資料等の該当箇所を参照し,「毎授業」授業内容に関する予習と復習(課題含む)をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

教科書

特に指定しない。

参考書、講義資料等

黒川信重『ガロア理論と表現論: ゼータ関数への出発』(日本評論社)
E.アルティン著『ガロア理論入門』(ちくま学芸文庫、筑摩書房)
藤崎源二郎『体とガロア理論』(岩波書店)

成績評価の基準及び方法

試験及びレポートに依る。詳細は講義中に指示する。

関連する科目

  • MTH.A301 : 代数学第一
  • MTH.A302 : 代数学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

代数学第一・第二を履修していることが望ましい。

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