線形代数学,微分積分学から必要な事項を整理したのち,以下の事項を学ぶ:平面曲線のパラメータ表示・弧長・曲率・曲率の幾何学的意味・フルネの公式・平面曲線の基本定理・空間曲線の曲率と捩率・空間曲線の基本定理.
平面・空間曲線の微分幾何学の基本事項を通して,これまでに学んだ線形代数学・微分積分学が使われる場面を体験し,変換・不変量といった現代幾何学の基本的な概念を知る.本講義は直後に開講される「幾何学概論第二」へ続くものである。
平面曲線,空間曲線の微分幾何学の基本的な事項を学ぶ.
(1) 曲線の曲率や捩率を合同変換やパラメータ変換で不変な量としてとらえ,それが曲線を決定すること(曲線論の基本定理)を理解する.
(2) 閉曲線の位相幾何学的な性質と曲率の関係を通して,局所的な概念と大域的な概念の違いを知る.
(3) これらの理論を具体例の計算によって確認する.
微分幾何学・平面曲線・空間曲線・曲率・捩率・合同変換
✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
課題(問題・質問)に関するコメント,講義,課題出題のセットを繰り返す.
授業計画 | 課題 | |
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第1回 | ユークリッド空間・平面曲線の基本定理 | 講義中に指示する. |
第2回 | 曲線のパラメータ表示と弧長 | 講義中に指示する. |
第3回 | 曲率円・閉曲線 | 講義中に指示する. |
第4回 | フルネ・セレの公式 | 講義中に指示する. |
第5回 | 空間曲線の基本定理 | 講義中に指示する. |
第6回 | 陰関数定理 | 講義中に指示する. |
第7回 | 理解確認 |
課題を実施には平均して100分程度かかる模様.
梅原雅顕・山田光太郎「曲線と曲面(改訂版)」裳華房
小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」裳華房
評価方法は2020年度と変える予定.最初の授業で説明する.
線形代数学第一・演習,微分積分学第一・演習,線形代数学第二,微分積分学第二で学ぶ内容は既知として授業を行う(単位取得は条件としない).
kotaro[at]math.titech.ac.jp
設定しない.必要な場合は電子メイルにて連絡すること.
【講義がオンラインか対面かにより,評価方法,授業の進め方が異なる可能性がある.開講時期が近づいたら連絡するので注意すること】
詳細は講義 web ページおよびT2SCHOLAを参照のこと.
Web ページ:http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2021/geom-1/index-jp.html
関連する科目は,記入欄が少ないので直接関連する科目のみを挙げた.その他に微分方程式概論第一,微分方程式概論第二
位相空間論第一,位相空間論第二,位相空間論第三,位相空間論第四
幾何学第一,幾何学第二,幾何学続論
複素解析第一,複素解析第二
などの科目と関連がある.