2019年度 位相幾何学   Topology

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開講元
数学系
担当教員名
野坂 武史 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
火5-6(H136)  金5-6(H136)  
クラス
-
科目コード
MTH.B341
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
4Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

 本講義では、ホモロジー群および基本群に関する基本事項を学ぶ。ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。
講義の流れとして, まずホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複体、単体写像などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入し、ホモロジー群のホモトピー不変性を紹介する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van Kampenの定理を述べる。
 

到達目標

・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること

キーワード

ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、基本群、Seifert-van Kampenの定理

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力

授業の進め方

通常の講義形式による授業を行う。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 あらまし、積空間、商空間、ホモトピー 講義中に指示する
第2回 ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、商空間、閉曲面の分類 講義中に指示する
第3回 単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体、幾何学的実現、単体写像、 講義中に指示する
第4回 向き、鎖群、境界準同型 講義中に指示する
第5回 輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler数 講義中に指示する
第6回 ホモロジー群の計算例 (I)、完全系列, Puppe完全列 講義中に指示する
第7回 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 講義中に指示する
第8回 連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列 講義中に指示する
第9回 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 講義中に指示する
第10回 ホモロジー群の計算例(II) 講義中に指示する
第11回 CW複体と胞体ホモロジー 講義中に指示する
第12回 ホモロジー群の展開; 胞体ホモロジー、特異ホモロジー、コホモロジーなど 講義中に指示する
第13回 道、ループ、道の積、逆の道、基本群 講義中に指示する
第14回 誘導準同型、基点の取り替え、基本群のホモトピー不変性 講義中に指示する
第15回 群の自由積、Seifert-van Kampenの定理 講義中に指示する

教科書

田村一郎「トポロジー」岩波書店

参考書、講義資料等

小宮 克弘「位相幾何入門」裳華房
中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press

成績評価の基準及び方法

問題演習(50%) レポート(50%)

関連する科目

  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

位相空間論第一(MTH.B201)、位相空間論第二(MTH.B202)、位相空間論第三(MTH.B203)、位相空間論第四(MTH.B204)、代数学概論第一(MTH.A201)、代数学概論第二(MTH.A202)、代数学概論第三(MTH.A203)、代数学概論第四(MTH.A204)を履修済みであることが望ましい。

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