2019年度 位相幾何学   Topology

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開講元
数学系
担当教員名
野坂 武史 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
火5-6(H136)  金5-6(H136)  
クラス
-
科目コード
MTH.B341
単位数
2
開講年度
2019年度
開講クォーター
4Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
-
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

 本講義では、ホモロジー群および基本群に関する基本事項を学ぶ。ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。
講義の流れとして, まずホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複体、単体写像などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入し、ホモロジー群のホモトピー不変性を紹介する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van Kampenの定理を述べる。
 

到達目標

・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること

キーワード

ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、基本群、Seifert-van Kampenの定理

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - - -

授業の進め方

通常の講義形式による授業を行う。

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 あらまし、積空間、商空間、ホモトピー 講義中に指示する
第2回 ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、商空間、閉曲面の分類 講義中に指示する
第3回 単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体、幾何学的実現、単体写像、 講義中に指示する
第4回 向き、鎖群、境界準同型 講義中に指示する
第5回 輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler数 講義中に指示する
第6回 ホモロジー群の計算例 (I)、完全系列, Puppe完全列 講義中に指示する
第7回 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 講義中に指示する
第8回 連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列 講義中に指示する
第9回 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 講義中に指示する
第10回 ホモロジー群の計算例(II) 講義中に指示する
第11回 CW複体と胞体ホモロジー 講義中に指示する
第12回 ホモロジー群の展開; 胞体ホモロジー、特異ホモロジー、コホモロジーなど 講義中に指示する
第13回 道、ループ、道の積、逆の道、基本群 講義中に指示する
第14回 誘導準同型、基点の取り替え、基本群のホモトピー不変性 講義中に指示する
第15回 群の自由積、Seifert-van Kampenの定理 講義中に指示する

教科書

田村一郎「トポロジー」岩波書店

参考書、講義資料等

小宮 克弘「位相幾何入門」裳華房
中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press

成績評価の基準及び方法

問題演習(50%) レポート(50%)

関連する科目

  • MTH.B301 : 幾何学第一
  • MTH.B302 : 幾何学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

位相空間論第一(MTH.B201)、位相空間論第二(MTH.B202)、位相空間論第三(MTH.B203)、位相空間論第四(MTH.B204)、代数学概論第一(MTH.A201)、代数学概論第二(MTH.A202)、代数学概論第三(MTH.A203)、代数学概論第四(MTH.A204)を履修済みであることが望ましい。

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