2019年度 幾何学概論第一   Introduction to Geometry I

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開講元
数学系
担当教員名
山田 光太郎 
授業形態
講義
曜日・時限(講義室)
木3-4(H136)  
クラス
-
科目コード
MTH.B211
単位数
1
開講年度
2019年度
開講クォーター
3Q
シラバス更新日
2019年3月18日
講義資料更新日
2019年10月30日
使用言語
日本語
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講義の概要とねらい

線形代数学,微分積分学から必要な事項を整理したのち,以下の事項を学ぶ:平面曲線のパラメータ表示・弧長・曲率・曲率の幾何学的意味・フルネの公式・平面曲線の基本定理・空間曲線の曲率と捩率・空間曲線の基本定理.
平面・空間曲線の微分幾何学の基本事項を通して,これまでに学んだ線形代数学・微分積分学が使われる場面を体験し,変換・不変量といった現代幾何学の基本的な概念を知る.本講義は直後に開講される「幾何学概論第二」に続くものである。

到達目標

平面曲線,空間曲線の微分幾何学の基本的な事項を学ぶ.
(1) 曲線の曲率や捩率を合同変換やパラメータ変換で不変な量としてとらえ,それが曲線を決定すること(曲線論の基本定理)を理解する.
(2) 閉曲線の位相幾何学的な性質と曲率の関係を通して,局所的な概念と大域的な概念の違いを知る.
(3) これらの理論を具体例の計算によって確認する.

キーワード

微分幾何学・平面曲線・空間曲線・曲率・捩率・合同変換

学生が身につける力

国際的教養力 コミュニケーション力 専門力 課題設定力 実践力または解決力
- - - -

授業の進め方

教科書冒頭のフローチャートに概ねしたがって,§1から§5までを解説する.
毎回の講義にて内容を確認する宿題を提供する.
回答状況により補足を加えながら,講義の内容をコントロールする.

授業計画・課題

  授業計画 課題
第1回 線形代数学から:ユークリッド空間の合同変換 線形代数学で学んだ「直交行列」とその周辺の事項を思い出しておくこと. 関連する課題は講義中に指示する.
第2回 微分積分学から:テイラーの定理・陰関数定理・線形常微分方程式の基本定理 微分積分学で学んだ「テイラーの定理」とその周辺の事項を思い出しておくこと. 関連する課題は講義中に指示する.
第3回 平面曲線のパラメータ表示・パラメータ変換・弧長 講義中に指示する.
第4回 弧長パラメータ・曲率・フルネの公式 講義中に指示する.
第5回 平面曲線の基本定理・曲率の幾何学的意味 講義中に指示する.
第6回 平面閉曲線の全曲率と回転数 講義中に指示する.
第7回 空間曲線の曲率・捩率・空間曲線の基本定理 講義中に指示する.
第8回 理解確認 講義中に指示する.

教科書

梅原雅顕・山田光太郎「曲線と曲面(改訂版)」裳華房

参考書、講義資料等

小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」裳華房

成績評価の基準及び方法

主として定期試験の成績による.試験の得点が思わしくない場合は各回の提出物の評価を加味する場合がある.
なお,加点の計算式およびそのパラメータの決定法は講義中に紹介する.

関連する科目

  • MTH.B212 : 幾何学概論第二
  • LAS.M102 : 線形代数学第一・演習
  • LAS.M106 : 線形代数学第二
  • LAS.M101 : 微分積分学第一・演習
  • LAS.M105 : 微分積分学第二

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数学第一・演習,微分積分学第一・演習,線形代数学第二,微分積分学第二で学ぶ内容は既知として授業を行う(単位取得は条件としない).

連絡先(メール、電話番号)    ※”[at]”を”@”(半角)に変換してください。

kotaro[at]math.titech.ac.jp

オフィスアワー

設定しない.
必要に応じて教室か電子メイルでコンタクトをとること.

その他

詳細は講義 web ページおよびOCWを参照のこと.
Web ページ:http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2019/geom-1/index-jp.html
関連する科目は,記入欄が少ないので直接関連する科目のみを挙げた.その他に微分方程式概論第一,微分方程式概論第二
位相空間論第一,位相空間論第二,位相空間論第三,位相空間論第四
幾何学第一,幾何学第二,幾何学続論
複素解析第一,複素解析第二
などの科目と関連がある.

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