国立大学法人 東京工業大学

講義の概要とねらい

　本講義の主要なテーマは、 (可換) 環とそのイデアルに関するより進んだ概念とその性質、そして (ネーター) 環上の加群の概念とその性質である。本講義では、先ず、(可換) 環の局所化と、イデアルに対する幾つかの基本的な演算を解説した後で、イデアルの準素分解を説明する。次に、ネーター環の概念を導入してその諸性質を説明し、さらにヒルベルトの基底定理を説明する。最後に、(ネーター) 環上の加群の概念を導入し、特に単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を説明する。そしてその応用として、線形代数学で非常に有用なジョルダンの標準形の存在とその計算方法を学ぶ。各回で、講義内容に関する問題演習を行う。本講義は、「代数学第一」 に続くものである。
　環上の加群の理論は、線形代数学で学ぶベクトル空間と線形写像の理論をより一般の場合にまで拡張・発展させたものである。そして、(ネーター) 環とその上の加群の概念は代数学における基本的概念であり、代数学のみならず数学全般に亘り適用範囲の非常に広いものである。本講義の目的は、これらの概念に慣れ親しみ、その基本的な性質を良く理解して、正しく使えるようになる事である。

到達目標

本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・(可換) 環の局所化の概念を理解し、また、イデアルに対する諸演算を正しく使う事ができる。
・イデアルの準素分解を理解し、使う事ができる。
・ネーター環の定義とその諸性質を理解する。
・(ネーター) 環上の加群の概念とその諸性質を理解し、特に単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を正しく使う事ができる。

キーワード

環の局所化、準素イデアル、ネーター環、ヒルベルトの基底定理、環上の加群、単項イデアル整域上の加群、単因子、有限生成加群、ジョルダン標準形

学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)

授業の進め方

通常の講義形跡による講義と、問題演習形式の講義を交互に行う。

授業計画・課題

教科書

授業中に参考書を指示する

参考書、講義資料等

授業中に参考書を指示する

成績評価の基準及び方法

期末試験 、および問題演習における解答状況。

関連する科目

• MTH.A201 ： 代数学概論第一
• MTH.A202 ： 代数学概論第二
• MTH.A203 ： 代数学概論第三
• MTH.A204 ： 代数学概論第四
• MTH.A301 ： 代数学第一

履修の条件(知識・技能・履修済科目等)

線形代数学第一・演習、線形代数学第二、線形代数学演習第二、線形空間論第一、線形空間論第二、代数学概論第一・第二、代数学概論第三・第四、代数学第一を履修済みであること、またはそれと同等の知識があること。

その他

特になし。