- 開講元
- 数学系
- 担当教員名
- KALMAN TAMAS
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 火3-4(H136) 金3-4(H136)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.B341
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2017年度
- 開講クォーター
- 4Q
- シラバス更新日
- 2017年9月10日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の主な題材は、ホモロジー群および基本群に関する基本的な諸概念である。ホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複体、単体写像、重心細分、単体近似などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入し、ホモロジー群のホモトピー不変性を証明する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van Kampenの定理を述べる。
ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。本講義では、ホモロジー群と基本群を通して、不変量やその関手性について学ぶ。
到達目標
・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること
キーワード
ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、単体近似、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、ループ、基本群、Seifert-van Kampenの定理
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式による授業を行う。
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | あらまし、積空間、商空間、ホモトピー | 講義中に指示する |
| 第2回 | ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、単体、面、重心座標 | 講義中に指示する |
| 第3回 | 単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体 | 講義中に指示する |
| 第4回 | 幾何学的実現、単体写像、同型、重心、可接合、結 | 講義中に指示する |
| 第5回 | 重心細分、開星状体、単体近似、Lebesgueの補題 | 講義中に指示する |
| 第6回 | 単体近似定理、向き、鎖群、境界準同型 | 講義中に指示する |
| 第7回 | 輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler数 | 講義中に指示する |
| 第8回 | Euler-Poincareの公式、錘複体、非輪状、ホモロジー群の計算 | 講義中に指示する |
| 第9回 | 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 | 講義中に指示する |
| 第10回 | 連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列 | 講義中に指示する |
| 第11回 | 積複体、鎖ホモトープ、ホモロジー群のホモトピー不変性(1) | 講義中に指示する |
| 第12回 | ホモロジー群のホモトピー不変性(2)、ホモロジー群の応用 | 講義中に指示する |
| 第13回 | 道、ループ、道の積、逆の道、基本群 | 講義中に指示する |
| 第14回 | 誘導準同型、基点の取り替え、基本群のホモトピー不変性 | 講義中に指示する |
| 第15回 | 群の自由積、Seifert-van Kampenの定理 | 講義中に指示する |
教科書
田村一郎「トポロジー」岩波書店
参考書、講義資料等
菅原正博「位相幾何学」培風館
中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版
成績評価の基準及び方法
期末試験(70%), 問題演習(30%)
関連する科目
- MTH.B301 ： 幾何学第一
- MTH.B302 ： 幾何学第二
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
位相空間論第一(MTH.B201)、位相空間論第二(MTH.B202)、位相空間論第三(MTH.B203)、位相空間論第四(MTH.B204)、代数学概論第一(MTH.A201)、代数学概論第二(MTH.A202)、代数学概論第三(MTH.A203)、代数学概論第四(MTH.A204)を履修済みであることが望ましい。
