- 開講元
- 数学系
- 担当教員名
- 加藤 文元
- 授業形態
- 講義
- メディア利用科目
- 曜日・時限(講義室)
- 火5-6(H136) 金5-6(H136)
- クラス
- -
- 科目コード
- MTH.A331
- 単位数
- 2
- 開講年度
- 2017年度
- 開講クォーター
- 3Q
- シラバス更新日
- 2017年3月17日
- 講義資料更新日
- -
- 使用言語
- 日本語
- アクセスランキング
-
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講義の概要とねらい
本講義の主要なテーマは体の有限次代数拡大の理論・ガロア理論およびその応用である。ガロア理論は現代数学の基礎へアプローチする際の最も重要な基盤理論の一つであり、同時に大学で学修する代数学の一つの到達点であるとも言える。
本講義ではガロア理論の基本定理を習得し、その応用として代数方程式の可解性を含めた様々なトピックについての理解を深めることを目的とする。
到達目標
体の拡大の基礎理論について、および有限次代数拡大とその剰余環による構成やガロア拡大などについて学ぶ。さらに体の間の準同型やそれらの拡大、体の自己同型および代数閉包の存在などについても学修する。ガロア拡大体の中間体と対応するガロア群の部分群との間の対応（ガロア対応）についての定理、いわゆるガロア理論の基本定理を理解し、その応用として有限体の理論、代数方程式の代数的可解性の問題、さらには作図問題などを理解する。
キーワード
ガロア拡大、ガロアの基本定理、有限体、代数方程式の可解性
学生が身につける力(ディグリー・ポリシー)
| ✔ 専門力 | 教養力 | コミュニケーション力 | 展開力(探究力又は設定力) | 展開力(実践力又は解決力) |
授業の進め方
通常の講義形式の講義中に演習形式を組み入れる
授業計画・課題
| 授業計画 | 課題 | |
|---|---|---|
| 第1回 | 導入および体の概念についても基礎的事項のまとめ | 講義中に指示する |
| 第2回 | 拡大体に関する基礎的事項 | 講義中に指示する |
| 第3回 | 単純拡大の概念と構成、代数的拡大 | 講義中に指示する |
| 第4回 | 分解体および最小分解体に関する基礎的事項 | 講義中に指示する |
| 第5回 | 代数的閉体の概念とその存在 | 講義中に指示する |
| 第6回 | 分離拡大体と非分離拡大体 | 講義中に指示する |
| 第7回 | 体の同型写像とその延長についての基礎的事項 | 講義中に指示する |
| 第8回 | 正規拡大、ガロア拡大とそのガロア群 | 講義中に指示する |
| 第9回 | ガロアの基本定理 | 講義中に指示する |
| 第10回 | ガロア群の様々な計算例 | 講義中に指示する |
| 第11回 | 円分体 | 講義中に指示する |
| 第12回 | トレースとノルム、有限体 | 講義中に指示する |
| 第13回 | 巡回クンマー拡大の一般論 | 講義中に指示する |
| 第14回 | ガロア理論の応用：方程式のべき根による解法 | 講義中に指示する |
| 第15回 | ガロア理論の応用：定規とコンパスによる作図およびその具体例 | 講義中に指示する |
教科書
桂利行著『代数学III 体とガロア理論（大学数学の入門③）』、東京大学出版会、2005年
参考書、講義資料等
E.アルティン著『ガロア理論入門』、寺田文行訳、ちくま学芸文庫、筑摩書房、2010年
中島匠一著『代数方程式とガロア理論』（共立叢書）、共立出版、2006年
成績評価の基準及び方法
期末試験における点数、および問題の解答状況により評価する。 詳細は講義中に指示する。
関連する科目
- MTH.A301 ： 代数学第一
- MTH.A302 ： 代数学第二
履修の条件(知識・技能・履修済科目等)
代数学第一・第二を履修していること
