講義概要

講義の目的

近年, 数論で最も重要な量のひとつであるゼータ関数と量子論で最も重要な量の
ひとつである分配関数が結びついていることから新たな研究が発展しつつある.
量子ゲージ理論における分配関数を記述するために Witten によって導入された
多重級数(Witten ゼータ関数) はその例である. この講義では, Witten ゼータ関数を
多変数関数化したものについて, 現在までの結果や関連する事柄, および今後の
展望などについて解説する.

講義計画

リーマンゼータ関数やルート系, およびワイル群の定義および諸性質を紹介した後，
ルート系に付随するゼータ関数を導入する．次にリーマンゼータ関数が持つ性質が
このゼータ関数に対し, どのように拡張されていくかを説明し, 値や関数関係式などを
解説する. 時間が許せば母関数構成法の証明を説明したい．

教科書・参考書等

ワイル群やルート系について基本的なことは
James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge
studies in advanced mathematics, 29 (1990)
を参照のこと. 本講義は

Y. Komori, K. Matsumoto and H. Tsumura,
On Witten multiple zeta-functions associated with semisimple Lie algebras III,
in Multiple Dirichlet Series, L-functions and Automorphic Forms,
Progress in Mathematics, 2012, Vol. 300, 223-286.

Y. Komori, K. Matsumoto and H. Tsumura,
On multiple Bernoulli polynomials and multiple L-functions of root systems,
Proc. London Math. Soc., 100 (2010), 303-347.

Y. Komori, K. Matsumoto and H. Tsumura,
Zeta-functions of weight lattices of compact semisimple connected
Lie groups, preprint, arxiv:1011.0323

に沿って解説する．

関連科目・履修の条件等

予備知識はなるべく仮定しない．群論, および関数論を習得していれば十分である.

成績評価

出席およびレポートで評価する.

担当教員の一言

この話題は比較的最近発展してきている事柄なので, その辺りの楽しさ・面白さを
伝えられればと思います.