講義概要

リーマン面の標識付き複素構造の全体を表すタイヒミュラー空間は他分野にわたり大変重要な空間である．この講義では曲面上の複素構造の上位構造である特異点付きユークリッド構造を考える．実際には特異点付きユークリッド構造の変形とその退化について解説する．変形空間はタイヒミュラー空間上のファイバー空間の全空間と自然に同一視できる．タイヒミュラーの定理によれば，閉曲面から有限個の点をのぞいた曲面の複素構造の変形は特異点付きユークリッド構造の変形によって表すことが出来るため，特異点付きユークリッド構造の変形・退化の研究は非常に重要である．

講義の目的

リーマン面の標識付き複素構造の全体を表すタイヒミュラー空間は他分野にわたり大変重要な空間である．この講義では曲面上の複素構造の上位構造である特異点付きユークリッド構造を考える．実際には特異点付きユークリッド構造の変形とその退化について解説する．変形空間はタイヒミュラー空間上のファイバー空間の全空間と自然に同一視できる．タイヒミュラーの定理によれば，閉曲面から有限個の点をのぞいた曲面の複素構造の変形は特異点付きユークリッド構造の変形によって表すことが出来るため，特異点付きユークリッド構造の変形・退化の研究は非常に重要である．

講義計画

タイヒミュラー空間などの講義内で用いる言葉の定義および諸性質を復習した後，特異点付きユークリッド構造の空間を導入する．次に，特異点付きユークリッド構造の変形空間を測地線カレント（geodesic currents)の空間への埋め込みを説明し，埋め込みにおける閉包の幾何的な特徴付けを説明する予定である．時間が許せば極値的長さによる退化との関係を説明したい．

教科書・参考書等

タイヒミュラー空間の基本的なことは
今吉洋一・谷口雅彦，タイヒミュラー空間論，日本評論社
が詳しい．また特異点付きユークリッド構造の変形空間については
プレプリント
　Moon Duchin, Christopher J. Leininger, Kasra Rafi,
　Length spectra and degeneration of flat metrics
　http://front.math.ucdavis.edu/0907.2082
に沿って解説する．

成績評価

出席およびレポートで評価する。

担当教員の一言

この話題は幾何学（トポロジー）と（複素）解析学が複雑に絡み合い非常に魅力的なものです．
その辺りの楽しさ・面白さを伝えればと思います．