講義概要

講義の目的

リッチフローを通して，多様体上の幾何解析のひとつの典型的手法を学ぶ．
リッチフローは，Hamiltonにより創始・発展させられた微分幾何における一つの強力な手法である．
特に3次元多様体に関する「幾何化予想」の解決に向けたHamiltonのプログラムは力強いものであった．
この予想の完全解決を成し遂げたPerelmanのアイデアは，多岐にわたるのもであった．

中でも最大の困難の一つであった「リッチフローの局所非崩壊」を肯定的に示したアイデアは示唆に富んだものであった．
この講義では，そのアイデアの背景にある数学（Harnack不等式とエントロピー公式）に焦点を絞り，それを深く考察しPerelmanの結果（i.e., リッチフローの局所非崩壊）が（物理的にではなく）数学的に自然に見えるように解説したい．

講義計画

1． 序：リッリフローとその背景
2． リーマン計量と曲率
3． Einstein-Hilbert汎関数とリッチフロー
4． 曲率に関する発展方程式
5． 共役熱方程式と勾配リッチソリトン
6． Harnack不等式（2～3回）
7． エントロピー公式（4～5回）
8． リッチフローに対する局所非崩壊定理（2回）

教科書・参考書等

(1) 西川青季，幾何学的変分問題，岩波書店．
(2) 小林亮一，リッチフローと幾何化予想，培風館．
(3) B. Andrews-C. Hopper, The Ricci Flow in Riemannian Geometry, Lect. Notes in Math. Vol 2011,Springer, 2011．

関連科目・履修の条件等

リーマン幾何の基礎（リーマン計量・Levi-Civita接続・曲率など）の初歩を学習していることが望ましい．

成績評価

出席状況とレポートによる．

担当教員の一言

講義で証明しなかった箇所・出題した問題などを自分で考えること．