講義概要

この講義および４学期に開講される「集合と位相第二」において、現代数学の土台である集合論と位相空間論を学習する。
数学のすべての対象は、基本的に集合とその間の写像によって記述される。
また、“近い・遠い”といった点どうしの結びつきを抽象化した概念が位相である。
集合と位相は抽象的な概念であるが、それゆえに適用範囲が広く、現代数学のいたるところで用いられる。
この講義では、論理に関する基礎事項を補いながら、集合論と距離空間について解説する。

講義の目的

この講義および４学期に開講される「集合と位相第二」において、現代数学の土台である集合論と位相空間論を学習する。
数学のすべての対象は、基本的に集合とその間の写像によって記述される。
また、“近い・遠い”といった点どうしの結びつきを抽象化した概念が位相である。
集合と位相は抽象的な概念であるが、それゆえに適用範囲が広く、現代数学のいたるところで用いられる。
この講義では、論理に関する基礎事項を補いながら、集合論と距離空間について解説する。

講義計画

１　集合と論理：集合、元、部分集合、集合族、命題、論理和、論理積、含意、否定、全称と存在、
　　和集合、共通部分、ド・モルガンの法則、直積集合、写像
２　濃度と二項関係：全射と単射、全単射、逆写像、濃度、可算集合、巾集合、対角線論法、ベルンシュタインの定理、
　　二項関係、同値関係、商集合、順序、全順序、整列集合と選択公理（抄）
３　距離空間：ユークリッド空間、開球体、開集合、閉集合、距離空間、距離関数、近傍系、連続写像
（講義の内容や順序は状況に応じて変更することがありうる。）

教科書・参考書等

教科書：内田伏一『集合と位相』（裳華房・数学シリーズ）
参考書１：松坂和夫『集合・位相入門』（岩波書店）・・・集合論の記述が丁寧である．
参考書２：大田春外（はると）『初めての集合と位相』（日本評論社）・・・親切・丁寧な入門書．

成績評価

成績は，出席状況・中間/期末試験・「集合と位相演習」の状況等により総合的に評価する。

担当教員の一言

集合や写像と仲良くなることが，「数学科の数学」への第一歩です。
あまり苦手意識を持たずに，「こんなものも数学なのか！」と新しいものを楽しむ気持ちで臨んでもらえればと思います。
この授業で述べる程度の（初等的な）集合と論理は，全ての数学の基礎ですので，しっかり把握してください。
また距離空間をよく理解しておくと，後期の（一般の）位相空間の理解が容易になります。
自分で手を動かして問題を解き，しっかり勉強してください。