講義概要

講義の目的

指数関数、対数関数、三角関数やその逆関数、ベキ級数で表される関数など、微積分で登場したこれら基本的な関数は変数を複素数にしても自然に定義される。更にこれらの関数は複素平面上で考えることではじめて実軸上の関数としてだけでは見えてこないより深い構造を示す。
複素解析第一ではこれらの関数が持つ性質のうち基本的な事柄を解説する。

講義計画

以下の事柄を講義する予定です。

1. 正則関数とベキ級数で表される関数
2. 指数関数と三角関数
3. 平方根、対数関数、その他の逆関数
4. コーシーの積分定理と積分公式
5. 調和関数と最大値原理
6. リュービルの定理と代数学の基本定理
7. モレラの定理とシュワルツの鏡像原理
8. 特異点
9. ローラン展開
10. フーリエ級数とポアッソン積分
11. フーリエ変換とラプラス変換
12. 留数解析
13. 偏角原理

教科書・参考書等

ラミ・シャカルチ、エリアス・M・スタイン：複素解析, 日本評論社

他の参考書として，
神保道夫：複素関数入門，岩波書店，
アールフォルス：複素解析

関連科目・履修の条件等

微分積分学第一、第二、線形代数学第一、第二、解析概論第一、第二、解析学演習B第一を並行して履修すること．

成績評価

中間試験，期末試験，レポート等の総合的評価による．

担当教員の一言

実関数の場合には見られない、正則関数がもつきれいな性質を、自分の頭で考えながら学んで行きましょう。